2019_2020学年高中数学第二章直线与平面平行的性质2.2.4平面与平面平行的性质学案

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1、2.2.3　直线与平面平行的性质2.2.4　平面与平面平行的性质知识导图学法指导学习本节知识的过程中，一方面要把握好性质定理的条件(切不可漏掉某个条件)和结论，根据结论来找条件；另一方面要熟练掌握平行关系的转化，根据题目的条件和结论，巧妙地实现线线平行、线面平行和面面平行之间的相互转化．高考导航本节知识在高考中若出现在选择题、填空题中，则难度不大，分值5分；若出现在解答题中，则常利用线面平行、面面平行的性质定理得到线线平行，再进一步证明其他问题.知识点一　直线与平面平行的性质文字语言一条直线与一个平面平行，则过这条直线的任一平面与此平面的交线与该直线平行符号语言⇒a∥b

2、图形语言定理中有三个条件：①直线a和平面α平行，即a∥α；②直线a在平面β内，即a⊂β；③平面α，β相交，即α∩β＝b.三个条件缺一不可．知识点二　平面与平面平行的性质文字语言如果两个平行平面同时和第三个平面相交，那么它们的交线平行符号语言⇒a∥b图形语言1．已知两个平面平行，虽然一个平面内的任何直线都平行于另一个平面，但是这两个平面内的所有直线并不一定相互平行，它们可能是平行直线，也可能是异面直线，但不可能是相交直线．2．该定理提供了证明线线平行的另一种方法，应用时要紧扣与两个平行平面都相交的第三个平面．[小试身手]1．判断下列命题是否正确.(正确的打“√”，错误的打

3、“×”)(1)若直线a∥平面α，直线a∥直线b，则直线b∥平面α.(　　)(2)若直线a∥平面α，则直线a与平面α内任意一条直线都无公共点．(　　)(3)若α∥β，则平面α内有无数条互相平行的直线平行于平面β.(　　)答案：(1)×　(2)√　(3)√2．平面α与△ABC的两边AB，AC分别交于点D，E，且AD︰DB＝AE︰EC，如图，则BC与α的位置关系是(　　)A.平行B.相交C.平行或相交D.异面解析：因为AD∶DB＝AE∶EC，所以DE∥BC，又DE⊂α，BC⊄α，所以BC∥α.答案：A3．过平面外一条直线作已知平面的平行平面(　　)A．必定可以并且可以作一个　

4、B．至少可以作一个C．至多可以作一个D．一定不能作解析：直线与平面相交时，平行的平面不存在；直线与平面平行时，平行的平面唯一．答案：C4．如图，α∩β＝CD，α∩γ＝EF，β∩γ＝AB，AB∥α，则CD与EF的位置关系为________．解析：由线面平行的性质得，AB∥CD，AB∥EF，由公理4得CD∥EF.答案：平行类型一　线面平行的性质定理的应用例1　如图所示，已知P是平行四边形ABCD所在平面外一点，E是PC的中点，在DE上任取一点F，过点F和AP作平面PAGF交平面BDE于FG，求证：AP∥GF.【证明】　如图所示，连接AC交BD于点O，连接OE，∵四边形ABC

5、D为平行四边形，∴点O是AC的中点，又E是PC的中点，∴AP∥OE.∵AP⊄平面BDE，OE⊂平面BDE，∴AP⊂面PAGF，AP∥平面BDE.∵平面PAGF∩平面BDE＝GF，∴AP∥GF.要证AP∥GF，根据线面平行的性质定理，只需证AP∥平面BDE，即只需证AP与平面BDE内的某一条直线平行．方法归纳(1)直线与平面平行的性质定理作为线线平行的依据，可以用来证明线线平行．(2)运用线面平行的性质定理时，应先确定线面平行，再寻找过已知直线的平面与这个平面相交的交线，然后确定线线平行．证题过程应认真领悟线线平行与线面平行的相互转化关系．简记为“过直线，作平面，得交线，

6、得平行”．跟踪训练1　如图所示，已知两条异面直线AB与CD，平面MNPQ与AB，CD都平行，且点M，N，P，Q依次在线段AC，BC，BD，AD上，求证：四边形MNPQ是平行四边形．证明：∵AB∥平面MNPQ，且过AB的平面ABC交平面MNPQ于MN，∴AB∥MN.又过AB的平面ABD交平面MNPQ于PQ，∴AB∥PQ，∴MN∥PQ.同理可证NP∥MQ.∴四边形MNPQ为平行四边形．AB∥平面MNPQ，CD∥平面MNPQ→MN∥PQ，NP∥MQ→四边形MNPQ是平行四边形类型二　面面平行性质定理的应用例2　如图所示，已知三棱柱ABC－A′B′C′中，D是BC的中点，D′是

7、B′C′的中点，设平面A′D′B∩平面ABC＝a，平面ADC′∩平面A′B′C′＝b，判断直线a，b的位置关系，并证明．【解析】　直线a，b的位置关系是平行．如图所示，连接DD′.∵平面ABC∥平面A′B′C′，平面A′D′B∩平面ABC＝a，平面A′D′B∩平面A′B′C′＝A′D′，∴A′D′∥a.同理可证AD∥b.又D是BC的中点，D′是B′C′的中点，∴DD′綊BB′，又BB′綊AA′，∴DD′綊AA′，∴四边形AA′D′D为平行四边形，∴A′D′∥AD，∴a∥b.由ABC－A′B′C′为三棱柱，得平面ABC∥平面A′B′C′，若