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《2019_2020学年高中数学第三章空间向量与立体几何3.2.2用向量方法解决垂直问题练习新人教A版》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在教育资源-天天文库。
1、第2课时 用向量方法解决垂直问题课时过关·能力提升基础巩固1已知平面α的一个法向量为n=(2,-1,0),则下列向量中与α垂直的是( )A.(-1,1,1)B.1,3,32C.3,-32,0D.(4,-2,2)解析:与平面α垂直的向量与α的法向量平行,只有C项符合.答案:C2下列说法不正确的是( )A.平面α的一个法向量垂直于与平面α共面的所有向量B.一个平面的所有法向量互相平行C.如果两个平面的法向量垂直,那么这两个平面也互相垂直D.如果a,b与平面α共面,且n⊥a,n⊥b,那么n就是平面α的一个法向量解析:选项D中,若a,b共线,则n就
2、不是平面α的一个法向量.答案:D3在正方体ABCD-A1B1C1D1中,若E为A1C1的中点,则直线CE垂直于( )A.ACB.BDC.A1DD.A1A解析:如图,以D为坐标原点,DA,DC,DD1所在直线为x轴,y轴,z轴建立空间直角坐标系Dxyz.设正方体的棱长为2,则C(0,2,0),A1(2,0,2),D(0,0,0),E(1,1,2),A(2,0,0),B(2,2,0),CE=(1,-1,2),AC=(-2,2,0),DB=(2,2,0),DA1=(2,0,2),AA1=(0,0,2).因为CE·AC=-2-2+0=-4≠0,所以C
3、E与AC不垂直.同理可知CE⊥BD,CE与A1D,A1A均不垂直.答案:B4设直线l1,l2的方向向量分别为a=(-2,2,1),b=(3,-2,m),若l1⊥l2,则m等于( )A.-2B.2C.6D.10答案:D5如图,四边形ABCD为正方形,PD⊥平面ABCD,PD∥QA,QA=AB=12PD,则平面PQC与平面DCQ的位置关系为( )A.平行B.垂直C.相交但不垂直D.位置关系不确定解析:由已知可得PD⊥DC,PD⊥DA,DC⊥DA,如图,以D为原点,建立空间直角坐标系,设QA=1,则D(0,0,0),C(0,0,1),Q(1,1,
4、0),P(0,2,0).故DQ=(1,1,0),DC=(0,0,1),PQ=(1,-1,0).故DQ·PQ=0,DC·PQ=0,即PQ⊥DQ,PQ⊥DC,故PQ⊥平面DCQ,平面PQC⊥平面DCQ.答案:B6已知A(0,1,0),B(-1,0,-1),C(2,1,1),点P(x,0,z),若PA⊥AB,PA⊥AC,则点P的坐标为______________________. 解析:由题意得PA=-x,1,-z,AB=-1,-1,-1,AC=2,0,1,由PA⊥AB,得PA·AB=x-1+z=0,由PA⊥AC,得PA·AC=-2x-z=0,解得x
5、=-1,z=2.故P(-1,0,2).答案:(-1,0,2)7如图,在直三棱柱ABC-A1B1C1中,底面是以∠ABC为直角的等腰三角形,AC=2a,BB1=3a,D是A1C1的中点,点E在棱AA1上,要使CE⊥平面B1DE,则AE= . 解析:建立如图所示的空间直角坐标系,则B1(0,0,3a),D2a2,2a2,3a,C(0,2a,0).设点E的坐标为(2a,0,z),则CE=(2a,-2a,z),B1E=(2a,0,z-3a),B1D=2a2,2a2,0,故CE·B1D=0.要使CE⊥平面B1DE,则需CE⊥B1E,即CE·B1E
6、=0,故2a2+z2-3az=0,解得z=a或z=2a.答案:a或2a8如图,△ABC和△BCD所在平面互相垂直,且AB=BC=BD=2,∠ABC=∠DBC=120°,E,F分别为AC,DC的中点.求证:EF⊥BC.证明:由题意,以点B为坐标原点,在平面DBC内过点B作垂直BC的直线为x轴,BC所在直线为y轴,在平面ABC内过点B作垂直BC的直线为z轴,建立如图所示的空间直角坐标系.易得B(0,0,0),A(0,-1,3),D(3,-1,0),C(0,2,0).因为E0,12,32,F32,12,0,所以EF=32,0,-32,BC=(0,2,
7、0).所以EF·BC=0.所以EF⊥BC.所以EF⊥BC.9如图,四边形ABCD为矩形,PA⊥平面ABCD,PA=AD,M,N分别为PC,AB的中点,求证:MN⊥平面PCD.分析:设AP=a,AB=b,AD=c,则{a,b,c}为基底,利用a,b,c把MN,DC,PD表示出来,证明MN⊥DC,MN⊥PD,即可证明MN⊥平面PCD.证明:设AP=a,AB=b,AD=c,则{a,b,c}为空间的一个基底,则MN=AN-AM=12AB-12(AP+AC)=12b-12(a+b+c)=-12(a+c).因为PA⊥矩形ABCD,所以PA⊥AB,PA⊥AD
8、,且AB⊥AD.所以a·b=0,b·c=0,c·a=0.所以MN·DC=-12(a+c)·b=0,MN·PD=-12(a+c)·(c-a)=-12(
9、
