扩展有限元法研究综述

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1、毕业设计（论文）题目扩展有限元法研究综述论文评阅人俗话说：“千里之堤溃于蚁穴”，棋盘上虽然一个很小的失误便会全盘皆输。下棋如此，生活如此，工程上亦如此。工程中往往都存在大量不连续问题，比如裂纹、杂质和孔隙。一般而言不连续部位对整个结构或破坏起控制作用，而同时这些问题乂是不可避免，难以计算和监控，且时刻存在的。由于各个数值方法分析裂纹扩展的局限性限制了它们的实际应用，不得不寻求新的解决裂纹扩展问题的途径。从通用性和理论基础成熟性角度而言，有限单元法是最好的数值方法。有限元法的运用的确在一些实际的工程问题中起到了很大的作用，为我们的设计、计算和监控工程实际带来了很大的方便。

2、但它对工程中大量存在的裂纹，杂质，孔隙和复杂流体等不连续问题的处理却不尽人意。传统的有限元分析静态裂纹问题的缺点主要是数据准备复杂，分析动态裂纹问题能力不强，若能够改进传统的有限元，让有限元的形函数既能满足常规部分的连续性乂能反映裂纹部分的不连续性，则有限元就具有较强的处理裂纹问题的能力。处理像裂纹这样的不连续问题时，需要将裂纹面设置为单元的边、裂尖设置为单元的结点、在裂尖附近不连续体的奇异场内需进行高密度网格划分以及在模拟裂纹扩展时需要不断的进行网格的重新划分，使得有限元程序设计相当复杂，且效率极低。在处理多裂纹问题时，其求解规模之大、网格剖分之难是不可想象的。199

3、9年以来,在有限元框架内发展起来的扩展有限元法XFEM,以解决不连续问题为着眼点，对常规有限元在求解裂纹问题时所遇到的困难提出了近乎完美的解决方案。扩展有限元是迄今为止求解不连续力学问题最有效的数值方法，它在标准有限元框架内研究问题，在单位分解的基础上保留了传统有限元的所有优点，且不需要对结构内存在的几何或者物理界面进行网格剖分。为了解决这个问题，且同时充分利用有限元的优化模型和计算方法，我们在传统有限元的基础上引入扩展有限元。前言II目录III摘要IABSTRACTII第］章绪论11.1研究背景和意义11.1.1扩展有限元基础一有限元11.1.2课题研究的现状21.2

4、研究的目的和意义31.3主要研究内容41.4扩展有限元发展趋势4第2章有限元基木理论52.1有限元法概述52.2平面桁架单元分析步骤82.2.1整体坐标系92.2.2位移92.2.3应变102.2.4单元节点位移向量102.2.5应变位移矩阵102.2.6应力112.2.7虚位移112.2.8单元节点力向量112.2.9虚功112.2.10虚应变112.2.11虚变形能122.2.12单元刚度矩阵122.2.13变体虚功原理122.2.14单元平衡方程132.2.15单元刚度矩阵性质132.3平面桁架实例分析142.3.1单元1142.3.2单元2152.3.3单元31

5、62.3.4单元4162.3.5单元5172.3.6节点受力分析182.3.7方程组装182.3.8整体刚度矩阵特点192.3.9位移边界约束192.3.10求解方程20第3章扩展有限元基本理论分析213.1单位分解法（PUM）213.2不连续位移场的建立222.2.1裂纹贯穿单元位移模式233.2.2裂纹尖端所在单元的改进243.2.3含任一裂纹的位移场"（兀）:253.3离散方程的建立263.3.1虚功方程263.3.2支配方程263.3.3形函数偏导283.4水平集法（LSM）303.4.1基木概念302.4.2水平集对裂纹的描述303.5积分方案313.6扩展有

6、限元法应用32第5章结论及展望355.1结论355.2展望355.2.1XFEM自身的研究355.2.2XFEM在菲均匀介质中的应用365.2.3XFEM在非线性固体力学问题中的应用365.2.3XFEM在其他问题中的应用36致谢37主要参考文献38摘要随着人类的进步，科技的发展，在诸多工程领域，比如航空航天，土木工程，机械制造等众多领域方面，求解不连续力学问题越来越多，而且精度要求也越来越高。但在实际计算中，不连续力学问题的求解往往是解决整个计算的瓶颈，如何正确有效的求解不连续问题便成了我们的当务之急。20世纪50年代发展而来的有限元（FEM）为解决复杂的力学问题带来

7、了极大的便利。同样，1999年美国西北大学的Belytschko教授提岀了扩展有限元方法（XFEM）,用来解决复杂的不连续力学问题。时至今H,扩展有限元（XFEM）己经在人类社会的发展中做出了很大的贡献，对科学发展起着举足轻重的作用。随着问题的深入，科学的发展，扩展有限元（XFEM）将在众多科学家的研究下，发展成为一门贯穿诸多学科（比如断裂力学，岩土力学，航空航天等），具有独立的，成熟的理论指导，能够完美解决实际问题的学科。本文在有限元得基础上，阐述了扩展有限元的基本理论和相关概念，并简要介绍了现今扩展有限元的应用状况，对扩展有限元（XF