自动控制原理-二阶系统的响应

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1、欢迎光临欢迎光临13-3二阶系统的响应一、二阶系统的数学摸型典型二阶系统是由一惯性环节与积分环节串联构成的闭环系统，其标准形式为：+2ωnRS()2CS()SS+2ζω−n2CS()ωnGS()==22RS()S++2ζωωSnn2ζ--阻尼系数ω--无阻尼自然振荡频率n二阶系统的响应通常被视为一种基准，原因就是二阶系统具有定量的品质指标。二、单位阶跃响应1、欠阻尼情况(0<ζ<1)巳知二阶系统的特征方程式为：322SS++20ζωω=nn当01<ζ<时，系统的闭环极点（特征根）为：2Sj=−ζωω±1−ζ1,2nn=−σ±jω（一对共轭

2、复根）d2ω=−ωζ1---阻尼振荡自然（角）频率dnσ=ζω---衰减系数n4阻尼比的大小决定了闭环极点在根平面的位置，反映了解的性质；极点的实部的大小，决定了指数衰减的快慢；极点虚部的大小，则决定了系统响应振荡的快慢。jωS21+jω1−ζnβ0σS+2ζωn5当输入为单位阶跃函数时，则有21ωnCS()==G()SR()S⋅22SS++2ζωωSnn1S+2ζωn=−22SS++2ζωωSnn1S+ζωζωnn=−−2222SS()++ζωω()S++ζωωndnd01<ζ<6故ttζct()1e−−ζωnncosteζωsint=

3、−ω−ωdd21−ζ1−ζωt1setnin()=−+ωβd21−ζt≥0ct()10t7a.此时系统响应曲线为衰减振荡过程；随着ζ的减小，振荡倾向增强，超调增大；b.当ζ=0,ct()=1−cosωt，则nct()Im系统零阻尼，是jωn×不衰减的等幅振1Re−jωn×荡。0t1−ζωtc.etrtctent∵()=−=()()sin(ω+β)d21−ζ8∴ee=∞()=0ss即系统带有一个积分环节，对单位阶跃输入，稳态误差为零。2、临界阻尼情况(1ζ=)此时2CS()ωnGS()==RS()2()S+ωn1而，RS()=故S921ωn

4、CS()=⋅2SS()+ωn1ωωnn=−−2SS()+ωS+ωnn−ωtct()1en(1t)∴=−+ωnt≥0jωct()S1,2=−ω××n1σ0t10系统响应是单调上升，无超调、无振荡的过渡过程。3、过阻尼情况(1ζ>)此时，系统有两个不相等的负实根，即2S=−ζω±ωζ−11,2nn故ωn11−−StStct()=−1(e12−e)212−SSζ12t≥011Imht()1××ReSS120ta.过阻尼系统无振荡、无超调，但过渡过程时间较长；显然：e=0ssb.若ζ>>1,S1<

5、=1t=(5%)sRS()S+S1S1124、负阻尼情况(0ζ<)此时，系统响应表达式的各指数项均为正指数，其阶跃响应是发散的：ht()ht()0t0t5、二阶系统在各种阻尼比下的h(t)13讨论：a.阻尼比ζ是二阶系统最重要的特征参数，只要知道ζ的大小，而不必求解方程，就可知道系统响应的大致情况；14b.阻尼比过大(1ζ≥)，系统响应迟钝，调节时间增长，快速性较差；而阻尼比太小，使振荡加剧，衰减变缓，调节时间长，快速性也差。因而阻尼比一般取值为：0.4<ζ<0.8，此时快速性和平稳性均较好；ωc.n也是系统重要的特征参数。在相同的ζ下，

6、ω越大，系统振荡角频率ωd越大，致使n系统的平稳性变差，但调整时间减小。d.ζ=0.707称为最隹阻尼比，此时，超调量较小，调整时间(5%误差带)最短。15二、欠阻尼二阶系统性能指标的定义和计算条件：系统初始条件为零；单位阶跃输入使用条件的原因是，基准相同，系统间便于比较；而单位阶跃信号易于产生，其他输入也可由此计算出来。161、上升时间tr定义：响应曲线第一次达到稳态值的时间。即1−ζωtctenrt()=−1sin(ωβ+)=1rdr21−ζsin(ωdrt+β)=0ωdrt+βπ=π−βπ−β∴t==r2ω1dωζ−n17jω其中：

7、S21+jω1−ζnωn−1ββ=cosζ0σS+2ζωn故增大自然振荡角频率或减小阻尼比，都将减小上升时间。2、峰值时间tp18由ct'()=0，解出t值，最小解即为tp。故dc()tωntet−ζωnsin0=ω=tt=p2ddt1−ζππt==∴ωt=0,π...pd2ω1−dωζn19即峰值时间tp为阻尼振荡周期的一半。3、超调量σ%最大超调量发生在峰值时间tp，故有ζπ−21−ζσ%=−⎡⎤ct()1×100%=e×100%⎣⎦p20系统超调量仅与ζ有关，ζ越小，超调量越大。超调量的数值直接说明了系统的相对稳定性。214、调整时

8、间ts调整时间是指响应值c(t)达到95%--105%(98%--102%)稳态值，并且永远保持在这个区间内所需的时间。调整时间可从ct()=0.95(0.98)出发，但求解比较困难。巳知：2