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1、（一）函数1凹（凸）函数1.1凸集凸集（ConvexSet）：对于任意两点uS∈和vS∈，且对于每一个θ∈[0,1]，当且仅当nwu=+−∈θ(1θ)vS为真时，集合SR⊂为凸集。凸集要求集合内的任意两点，其连线也在集合内，即该集合不存在任何孔，它的边缘也不能有缩进。例如，平面中，一条线段就是一个凸集，而一个圆圈则不是。1.2凹（凸）函数引入凸集的概念后我们就可以介绍凹（凸）函数：不管是凹函数还是凸函数都要求其定义域是凸集。我们可以先举个例子直观感受下凹（凸）函数的特征，比如函数2y=−+xx4−4
2、就是一个凹函数，它在定义域内呈现的形状是一只倒立的碗；而函数2yxx=−+44是一个凸函数，它在定义域内呈现的形状就像一只碗。现在具体给出凹（凸）函数的定义（x为自变量向量）：12对于函数f:D→R，其定义域内任意两个不同的点x和x,当且仅当1212tf(x)(1+−tf)(x)≤ft(x+−(1t)x)∀∈t(0,1)时，函数f为凹函数(ConcaveFunction)。12对于函数f:D→R，其定义域内任意两个不同的点x和x,当且仅当1212tf(x)(1+−tf)(x)≥ft(x+−(1t)x
3、)∀∈t(0,1)时，函数f为凸函数(ConvexFunction)。如果f为一元函数，我们能从图形上看，凸函数的定义是指该曲线上任何两点之间的连线在曲线的上面，而凹函数则要求曲线上任何两点之间的连线在曲线的下面。如果是二元函数，则把“曲线”改为“曲面”也可以感受它们的特征。若将不等号“≤”和“≥”分别变换成严格不等号“<”和“>”，上述定义便成了严格凹函数和严格凸函数的定义。12ttx(+−1)x因为凹函数的定义域为凸集，因此点也一定在函数的定义域内。我们可以利用凹（凸）函数和严格凹（凸）函数判断
4、函数极值的情况。在满足无约束极值一阶必要条件的前提下，凹函数一定存在全局最大值的解，但全局最大值的解可能不是唯一的，因为如果山峰包含一个平顶，则全局最大值的解有很多个。仅当我们限定它为严格凹形函数时，全局最大值的解才可能是唯一的。1.3凹（凸）函数与凸集的关系首先我们必须区别凸集与凸函数的概念。根据定义，可知当“凸的”在描述集合时，它要求该集合不能出现任何孔，边缘也不能有缩进。这不同于之前的凹（凸）函数：当“凸的”在描述函数时，它确定的是一条曲线或1曲面是如何弯曲的。但凹（凸）函数确实与凸集有关。除
5、了定义域都要求是凸集之外，它们都可以引致一个凸集。定理f(x)是凹函数⇔≡A{(x，yD)x∈,(x)f≥y}是凸集；f(x)是凸函数⇔≡A{(x，yD)x∈,(x)f≤y}是凸集。即，由函数上的点以及函数曲线（曲面）之下的点组成的集合若是凸集⇔该函数为凹函数；由函数上的点以及函数曲线（曲面）之上的点组成的集合若是凸集⇔该函数为凸函数。注意，这里的A是关于点（x,y）的集合。1.4用海塞矩阵判定凹（凸）函数当函数为二阶连续可导时，我们还可以利用海塞矩阵判定它是否为凹（凸）函数。定义海塞矩阵：为函数二
6、阶导数和交叉导数构成的矩阵，如：⎡⎤f11(,)xx12fxx12(,)12Hxx(,)=⎢⎥。根据杨格定理：f=f，因此海塞矩阵为对称矩12ijjif(,)xxfxx(,)⎣⎦21122212阵。通过判定海塞矩阵的负（正）定，我们可以判定函数的凹（凸）性，规则为（1）函数为严格凹函数⇐其海塞矩阵Hxx(,)负定；12（2）函数为严格凸函数⇐其海塞矩阵Hxx(,)正定。12接下来就介绍判断海塞矩阵正负定的方法。我们这里主要讨论判定二元函数凹凸性的方法。定义主子阵：对n×n矩阵A，由A的k个主对角线元
7、素及其对应的非对角线元素来得到的矩阵，称为A的k阶主子阵；由A的前k个主对角线元素及其对应的非对角线元素来得到的矩阵，为k阶前主子阵。主子阵的行列式为主子式；前主子阵的行列式为顺序主子式。D我们用k表示Hxx(,)的k阶顺序主子式（其中k=1,2），如:12D(,)xx=fxx(,)，1121112f(,)xxfxx(,)11121212Dxx(,)=。212f(,)xxfxx(,)21122212定理对于二次连续可微函数，y=fxx(,)12（1）Dxx(,)0(1,2)>=⇔k海塞矩阵正定；k1
8、2k（2）(1)−>Dxx(,)0(k=1,2)⇔海塞矩阵负定。k122π用H表示海塞矩阵H的指标（1,2）的任意排序，如π⎡⎤f11(,)xx12fxx12(,)12⎡⎤fxx22(,)12fxx21(,)12Hxx(,)=⎢⎥,⎢⎥，12f(,)xxfxx(,)fxx(,)fxx(,)⎣⎦21122212⎣⎦12121112ππDxx(,)为Hxx(,)的k阶顺序主子式，则k1212π（3）Dxx(,)0,(1,2)≥=k⇔海塞矩阵半正定；k12kπ（4）(1)−
