非线性动力学中分叉图的特性

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1、第一章有限差分方程一、线性有限差分方程:几个概念：方程（线性）系统参数：R初始条件：N08/15/20211N0=100,R>0衰减（decay）R=0.9递增（growth）R=1.08稳态（steady-state）R=18/15/20212N0=100,R<0衰减（decay）R=-0.9递增（growth）R=-1.08稳态（steady-state）R=-18/15/20213吸引子（attractor）:随着时间的演化，系统的一种状态趋势01:Nt分叉点（bifurc

2、ationpoint）:以某个参数值为分界，系统进入不同的状态R=18/15/20214二、非线性的有限差分方程1、LogisticEquation:系统参数：R初始条件：x0固定点：（fixedpoint）8/15/20215系统参数：R，初始条件：x0，取0

3、题1：1、x0取不同值时，上述几种情况如何？2、x0=0.5,R分别为1.25,2,2.75，画出轨线t-xt8/15/202193

4、x0=0.523424对初始条件敏感8/15/202114R>4轨线最终逃逸（escape）到无穷。问题2：1.Howmanyiterationsdoseittakeforthetrajectoriestogetwith0.001ofthefinalvaluex=0.3333forR=1.5?2.WhathappensforR>4?8/15/202115小结：系统表现出的不同行为稳定状态、周期、混沌系统参数(R)的不同给系统带来的影响初始状态(x0)的不同对系统的影响8/15/202116分叉图(bifu

5、rcationdiagram)8/15/202117三、稳定状态(steadystate)和稳定性（stability）研究三个问题：1、系统是否存在固定点(fixedpoint)？2、系统是否在固定点处存在局部稳定性？局部稳定性(locallystable)3、系统是否在固定点处存在全局稳定性？全局稳定性(globallystable)8/15/202118局部稳定性locallystable:Iftheinitialconditionhappenstobenearafixedpoint,sequent

6、iteratesapproachthefixedpoint,wesaythefixedpointislocallystable.(locallyasymptoticstability)全局稳定性globallystable:Ifthefixedpointisapproachedbyallinitialconditions,wesaythefixedpointisgloballystable.8/15/2021191、固定点(fixedpoint)：8/15/2021202、固定点的局部稳定性线性系统：固定

7、点R>1:不稳定0

8、icdynamicsiscalledtransient8/15/2021253、固定点的全局稳定性线性系统Alocallystablefixedpointisalsogloballystable.非线性系统Whenmultiplefixedpointarepresent,noneofthefixedpointscanbeglobally.8/15/202126吸引域（basinofattraction）Thesetofinit