计量经济学（第三版） 潘省初 著 ets3

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1、第三章双变量线性回归模型（简单线性回归模型）（SimpleLinearRegressionModel）第一节双变量线性回归模型的估计第二节最小二乘估计量的性质第三节拟合优度的测度第四节双变量回归中的区间估计和假设检验第五节预测第六节有关最小二乘法的进一步讨论第一节双变量线性回归模型的估计一.双变量线性回归模型的概念设Y=消费,X=收入,我们根据数据画出散点图Y*这意味着*Y=+X(1)*写出计量经济模型*Y=+X+u(2)*其中u=扰动项或误差项Y为因变量或被解释变量图1XX为自变量或解释变量和为未知

2、参数设我们有Y和X的n对观测值数据，则根据(2)式，变量Y的每个观测值应由下式决定：Yi=+Xi+ui,i=1,2,...,n(3)(3)式称为双变量线性回归模型或简单线性回归模型。其中和为未知的总体参数，也称为回归模型的系数（coefficients）。下标i是观测值的序号。当数据为时间序列时，往往用下标t来表示观测值的序号，从而（3）式变成Yt=+Xt+ut,t=1,2,...,n(3’)为何要在模型中包括扰动项u我们在上一章中已初步介绍了为什么要在模型中包括扰动项u，下面进一步说明之：（1）真正

3、的关系是Y=f(X1，X2，…)，但X2,X3,…,相对不重要，用u代表之。（2）两变量之间的关系可能不是严格线性的，u反映了与直线的偏差。（3）经济行为是随机的，我们能够用Y=α+βX解释“典型”的行为，而用u来表示个体偏差。（4）总会出现测量误差，使得任何精确的关系不可能存在。二.普通最小二乘法(OLS法,OrdinaryLeastsquares)1.双变量线性回归模型的统计假设我们的模型是：Yt=+Xt+ut,t=1,2,...,n这里和为未知总体参数，下一步的任务是应用统计学的方法，由Y和X的观测

4、值（即样本数据）来估计和的总体值，常用的估计方法就是最小二乘法。为了应用最小二乘法，得到好的估计量，双变量线性回归模型需要满足一些统计假设条件，这些统计假设是：双变量线性回归模型的统计假设(1).E(ut)=0,t=1,2,...,n即各期扰动项的均值(期望值)为0.(2).E(uiuj)=0ij即各期扰动项互不相关.(3).E(ut2)=2,t=1,2,...,n即各期扰动项方差是一常数.(4).解释变量Xt为非随机量即Xt的取值是确定的,而不是随机的.(5).ut~N(0,2),t=1,2,...,

5、n即各期扰动项服从正态分布。下面简单讨论一下上述假设条件。（1）E(ut)=0,t=1,2,…,n即各期扰动项的均值（期望值）均为0。均值为0的假设反映了这样一个事实：扰动项被假定为对因变量的那些不能列为模型主要部分的微小影响。没有理由相信这样一些影响会以一种系统的方式使因变量增加或减小。因此扰动项均值为0的假设是合理的。（2）E(uiuj)=0,i≠j即各期扰动项互不相关。也就是假定它们之间无自相关或无序列相关。实际上该假设等同于：cov(ui,uj)=0,i≠j这是因为：cov(ui,uj)=E{[ui-E(

6、ui)][uj-E(uj)]}=E(uiuj)——根据假设（1）（3）E(ut2)=2,t=1,2,…,n即各期扰动项的方差是一常数，也就是假定各扰动项具有同方差性。实际上该假设等同于：Var(ut)=2,t=1,2,…,n这是因为：Var(ut)=E{[ut-E(ut)]2}=E(ut2)——根据假设（1）（4）Xt为非随机量即Xt的取值是确定的,而不是随机的。事实上，我们后面证明无偏性时仅需要解释变量X与扰动项u不相关，但不容易验证之，因而通常采用非随机量的假设。（5）ut~N(0,2),t=1,2,.

7、..,n即扰动项服从正态分布。满足条件（1）—（4）的线性回归模型称为古典线性回归模型（CLR模型）。2.最小二乘原理我们的任务是，在给定X和Y的一组观测值(X1,Y1),(X2,Y2),...,(Xn,Yn)的情况下,求出Yt=+Xt+ut中和的估计值和,使得拟合的直线为最佳。直观上看，也就是要求在X和Y的散点图上穿过各观测点画出一条“最佳”直线，如下图所示。*****et************YXXt图2Yt残差拟合的直线称为拟合的回归线.对于任何数据点(Xt,Yt),此直线将Yt的总值分成两部分。

8、第一部分是Yt的拟合值或预测值：,t=1,2,……,n第二部分，et，代表观测点对于回归线的误差，称为拟合或预测的残差（residuals）：t=1,2,……,n即t=1,2,……,n残差平方和我们的目标是使拟合出来的直线在某种意义上是最佳的，直观地看，也就是要求估计直线尽可能地靠近各观测点，这意味着应使残差总体上尽可能地小。要做到这一点，就必须用某种方法将每个点相应的残