计量经济学 林清泉 著 ets3

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1、第三章双变量线性回归模型（简单线性回归模型）（SimpleLinearRegressionModel）第一节双变量线性回归模型的估计一.双变量线性回归模型的概念设Y=消费,X=收入,我们根据数据画出散点图Y*这意味着*Y=+X(1)*我们写出计量经济模型*Y=+X+u(2)*其中u=扰动项或误差项Y为因变量或被解释变量图1XX为自变量或解释变量和为未知参数设我们有Y和X的n对观测值数据，则根据(2)式，变量Y的每个观测值应由下式决定：Yi=+Xi+ui,i=1,2,...,n(3)(3)式称为双变量线性回归模型或简单线性回归

2、模型。其中和为未知的总体参数，也称为回归模型的系数（coefficients）。下标i是观测值的序号。当数据为时间序列时，往往用下标t来表示观测值的序号，从而（3）式变成Yt=+Xt+ut,t=1,2,...,n(3’)为何要在模型中包括扰动项u我们在上一章中已初步介绍了为什么要在模型中包括扰动项u，下面进一步说明之：（1）真正的关系是Y=f(X1，X2，…)，但X2,X3,…,相对不重要，用u代表之。（2）两变量之间的关系可能不是严格线性的，u反映了与直线的偏差。（3）经济行为是随机的，我们能够用Y=α+βX解释“典型”的行为，而

3、用u来表示个体偏差。（4）总会出现测量误差，使得任何精确的关系不可能存在。二.普通最小二乘法(OLS法,OrdinaryLeastsquares)1.双变量线性回归模型的统计假设我们的模型是：Yt=+Xt+ut,t=1,2,...,n这里和为未知总体参数，下一步的任务是应用统计学的方法，由Y和X的观测值（即样本数据）来估计和的总体值，常用的估计方法就是最小二乘法。为了应用最小二乘法，得到好的估计量，双变量线性回归模型需要满足一些统计假设条件，这些统计假设是：双变量线性回归模型的统计假设(1).E(ut)=0,t=1,2,...,

4、n即各期扰动项的均值(期望值)为0.(2).E(uiuj)=0ij即各期扰动项互不相关.(3).E(ut2)=2,t=1,2,...,n即各期扰动项方差是一常数.(4).解释变量Xt为非随机量即Xt的取值是确定的,而不是随机的.(5).ut~N(0,2),t=1,2,...,n即各期扰动项服从正态分布。下面简单讨论一下上述假设条件。（1）E(ut)=0,t=1,2,…,n即各期扰动项的均值（期望值）均为0。均值为0的假设反映了这样一个事实：扰动项被假定为对因变量的那些不能列为模型主要部分的微小影响。没有理由相信这样一些影响会以一种系统

5、的方式使因变量增加或减小。因此扰动项均值为0的假设是合理的。（2）E(uiuj)=0,i≠j即各期扰动项互不相关。也就是假定它们之间无自相关或无序列相关。实际上该假设等同于：cov(uI,uj)=0,i≠j这是因为：cov(uI,uj)=E{[ui-E(ui)][uj-E(uj)]}=E(uiuj)——根据假设（1）（3）E(ut2)=2,t=1,2,…,n即各期扰动项的方差是一常数，也就是假定各扰动项具有同方差性。实际上该假设等同于：Var(ut)=0,i≠j这是因为：Var(ut)=E{[ut-E(ut)]2}=E(ut2)——根据假

6、设（1)）（4）Xt为非随机量即Xt的取值是确定的,而不是随机的。有的书上采用弱一些的条件：E(Xtut)=0,t=1,2,…,n即解释变量X与扰动项u不相关。（5）ut~N(0,2),t=1,2,...,n即扰动项服从正态分布。满足条件（1）—（4）的线性回归模型称为古典线性回归模型（CLR模型）。2.最小二乘原理我们的任务是，在给定X和Y的一组观测值(X1,Y1),(X2,Y2),...,(Xn,Yn)的情况下,如何求出Yt=+Xt+ut中和的估计值和,使得拟合的直线为最佳。直观上看，也就是要求在X和Y的散点图上穿过各观测点画

7、出一条“最佳”直线，如下图所示。*****et************YXXt图2Yt残差拟合的直线称为拟合的回归线.对于任何数据点(Xt,Yt),此直线将Yt的总值分成两部分。第一部分是Yt的拟合值或预测值：,t=1,2,……,n第二部分，et，代表观测点对于回归线的误差，称为拟合或预测的残差（residuals）：t=1,2,……,n即t=1,2,……,n残差平方和我们的目标是使拟合出来的直线在某种意义上是最佳的，直观地看，也就是要求估计直线尽可能地靠近各观测点，这意味着应使残差总体上尽可能地小。要做到这一点，就必须用某种方法将每个点相

8、应的残差加在一起，使其达到最小。理想的测度是残差平方和，即最小二乘法最小二乘法就是选择一条直线，使其残差平方和达到最小值的方法。即选择和，使得达到最小值。运用微积分知识，使上式达