函数与几何综合题的解题策略及复习方法

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1、浅说函数与几何综合题的解题策略及复习方法孝南区书院中学邓志军一函数与几何问题的综合题的分类:1几何元素间的函数关系问题:这类问题的特点是：根据已知几何图形间的位置和数量关系（如平行、全等、相似，特别是成比例）建立自变量与函数所表示的几何元素间的等量关系，求出函数关系式，运用函数的性质解决几何图形中的问题;这类问题的特点是：根据已知函数图像中的几何图形的位置特征，运用数形结合方法解决有关函数、几何问题；二、函数与几何综合题例析（一）“几函”问题：1、线段与线段之间的函数关系：（1）观察几何图形的特征：2、函数图像中的几何图形的问题：

2、（2）依据相关图形的性质（如直角三角形的性质、特殊四边形的性质、平行线分线段成比例定理及其推论、相似三角形的性质、圆的基本性质、圆中的比例线段等等）找出几何元素之间的联系；（3）将它们的联系用数学式子表示出来，并整理成函数关系式，在此函数关系式的基础上再来解决其它的问题；解决此类问题时，要特别注意自变量的取值范围。例1如图，AB是半圆的直径，O为圆心AB=6，延长BA到F，使FA=AB，若P为线段AF上的一个动点（不与A重合），过P点作半圆的切线，切点为C，过B点作BE⊥PC交PC的延长线于E，设AC=x，AC+BE=y，求y与x的

3、函数关系式及x的取值范围。（2003年山东省烟台市中考题）OACPFBE评析：这是一道集圆、直角三角形、相似三角形与函数的综合题，由于已知条件中有切线，因此可以联想切线的性质、切割线定理、弦切角定理、切线长定理；又因为有直径这一已知条件，又可联想构造直径所对的圆周角。因此，连结BC，构造出“双直角三角形”和弦切角定理的典型图形，然后利用两对相似三角形中的一对建立比例式，再结合勾股定理解决问题。OACPFBE2、面积与线段间的函数关系的建立：解决此类问题除了掌握第一类型的知外，还要注意到以下两点：（1）常见图形的面积公式;（2）学会灵

4、活地将非特殊图形的面积转化为特殊图形的面积，将同底（或等高）的两个三角形的面积之比转化为它们的高（或底）之比，将相似三角形的面积之比转化为相似比（或周长的比、对应边上的高的比、对应边上的中线的比等）的平方。例2如图所示，已知A、B两点的坐标分别为（28，0）和（0，28），动点P从A点开始在线段AO上以每秒3个单位长度的速度向原点O运动，动直线EF从x轴开始以每秒1个单位长度的速度向上平移（即EF∥x轴），并且分别与y轴、线段AB交于E、F点，连结FP，设动点P与动直线EF同时出发，运动时间为t秒。（1）当t=1时，求梯形OPFE的

5、面积。t为何值时，梯形OPFE的面积最大，最大面积是多少？（2）当梯形OPFE的面积等于三角形APF的面积时，求线段PF的长。（3）设t的值分别取t1、t2时，（t1≠t2），所对应的三角形分别是ΔAF1P1和ΔAF2P2，试判断这两个三角形是否相似；请证明你的判断。（2003年广西南宁市中考题）（二）“函几”问题：1、三类基本初等函数中的图形面积问题：解决这类问题时，通常要将坐标系中的图形进行分割，一般情况是将它分割成一些两边（或三边）在坐标轴上或者两边（或三边）平行于坐标轴的三角形（或梯形、矩形）等；同时要注意点到坐标轴的距离与

6、点的坐标间的区别，正确利用点的坐标来表示线段的长度。例3如图，直线OC、BC的函数关系式分别为y=x和y=-2x+6，动点P（x，0）在OB上移动（0＜x＜3），过点P作直线与x轴垂直。（1）求点C的坐标；（2）设OBC中位于直线左侧部分的面积为s，写出s与x之间的函数关系式；（3）在直角坐标系中画出（2）中函数的图象；（4）当x为何值时，直线平分三角形OBC的面积？（2003年常州市中考题）2、三类基本初等函数中的三角形、四边形、圆的问题：这类题目一般由1~3问组成，第一问往往是求函数的解析式，然后在此基础上再与几何中的三角形（全

7、等、相似或特殊三角形是否存在等问题）四边形（面积的函数关系式、特殊四边形是否存在）和圆（直线与圆的位置关系的判断、圆中的比例式是否成立）结合起来，利用初中的主干知识全面考查学生综合运用所学知识解决问题的能力；解决这类综合性问题时要注意以下几个问题：（1）注意弄清题目中所涉及的概念，熟悉与之相关的定理、公式、技巧和方法；（2）注意剖析综合问题的结构，弄清知识点之间的联系，善于把一个综合题分成若干个基本题，各个知识点之间的结合部，往往是由一个基本问题转化到另一个基本问题的关键；（3）注意从不同的角度来探索解题的途径，注意运用“从已知看可

8、知”，“从结论看需知”等综合法与分析法来沟通已知条件与结论。例4已知二次函数的图象如图所示，（1）求二次函数的解析式及抛物线的顶点M的坐标；（2）若点N为线段BM上的一点，过点N作x轴的垂线，垂足为点Q，当点N在线段BM上运动时（点N