趣味数学讲座[1]1

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1、趣味数学讲座主讲人：赵国钊《晏子春秋》里有一个“二桃杀三士”的故事，大意是：齐景公养着三名勇士，他们名叫田开疆、公孙接和古冶子。这三名勇士都力大无比，武功超群，为齐景公立下过不少功劳。但他们也刚愎自用，目中无人，得罪了齐国的宰相晏婴。晏子便劝齐景公杀掉他们，并献上一计：以齐景公的名义赏赐三名勇士两个桃子，让他们自己评功，按功劳的大小吃桃。三名勇士都认为自己的功劳很大，应该单独吃一个桃子。于是公孙接讲了自己的打虎功，拿了一只桃；田开疆讲了自己的杀敌功，拿起了另一桃。两人正准备要吃桃子——古冶子说出了自己更大的功劳。公孙接、田开疆

2、都觉得自己的功劳确实不如古冶子大，感到羞愧难当，赶忙让出桃子。并且觉得自己功劳不如人家，却抢着要吃桃子，实在丢人，是好汉就没有脸再活下去，于是都拔剑自刎了。古冶子见了，后悔不迭。仰天长叹道：如果放弃桃子而隐瞒功劳，则有失勇士尊严；为了维护自己而羞辱同伴，又有损哥们义气。如今两个伙伴都为此而死了，我独自活着，算什么勇士！说罢，也拔剑自杀了。晏子采用借“桃”杀人的办法，不费吹灰之力，便达到了他预定的目的，可说是善于运用权谋。汉朝有人在一首诗中曾不无讽刺地写道：“……一朝被谗言，二桃杀三士。谁能为此谋，相国务晏子！”在晏子的权谋之中，

3、包含了一个重要的数学原理——抽屉原理。抽屉原理把n+1个物体放到n个抽屉中，那么至少有一个抽屉里有不止一个这种物体。什么叫做抽屉原理？东西多，抽屉少，那么至少有两个东西放在一个抽屉里。如：有6个苹果，要放入5个抽屉中，那么至少有一个抽屉里面会放2个苹果。至少抽屉原理有时也被称为鸽巢原理，它是德国数学家狄利克雷(Dirichlet,PeterGustavLejeune,1805～1859)首先明确的提出来并用以证明一些数论中的问题，因此，也称为狄利克雷原则。它是组合数学中一个重要的原理。把它推广到一般情形有以下几种表现形式。形式一

4、：设把n＋1个元素分为n个集合A1，A2，…，An，用a1，a2，…，an表示这n个集合里相应的元素个数，证明至少存在某个ai大于或等于2.（用反证法）假设结论不成立，即对每一个ai都有ai＜2，则因为ai是整数，应有ai≤1，于是有：a1＋a2＋…＋an≤1＋1＋…＋1＝n＜n＋1这与题设矛盾。所以，至少有一个ai≥2，即必有一个集合中含有两个或两个以上的元素。形式二：设把n·m＋1个元素分为n个集合A1，A2，…，An，用a1，a2，…，an表示这n个集合里相应的元素个数，证明至少存在某个ai大于或等于m＋1。（用反证法）假

5、设结论不成立，即对每一个ai都有ai＜m＋1，因为ai是整数，所以ai≤m，于是有：a1＋a2＋…＋an≤m＋m＋…＋m＝n·m＜n·m＋1n个m这与题设相矛盾。所以，至少有存在一个ai≥m＋1.1947年，匈牙利数学家把这一原理引进到中学生数学竞赛中，当年匈牙利全国数学竞赛有一道这样的试题：“证明：任何六个人中，一定可以找到三个互相认识的人，或者三个互不认识的人。”如果B、C、D三人互不认识，那么我们就找到了三个互不认识的人；如果B、C、D三人中有两个互相认识，例如B与C认识，那么，A、B、C就是三个互相认识的人。不管哪种情况

6、，本题的结论都是成立的。用A、B、C、D、E、F代表六个人，从中随便找一个，例如A吧，把其余五个人放到“与A认识”和“与A不认识”两个“抽屉”里去，根据抽屉原理，至少有一个抽屉里有三个人。不妨假定在“与A认识”的抽屉里有三个人，他们是B、C、D。幼儿园买来不少熊、马、狗塑料玩具，每个小朋友任意选择两件，那么至少要有几个小朋友才能保证有两人选的玩具相同？6种可能出现的选择方式就是6个“抽屉”“苹果”是小朋友把135块饼干分给16个小朋友，如果每个小朋友至少要分到1块饼干，那么不管怎样分，一定会有2个小朋友得到的饼干数目相同。为什么

7、？要使16个小朋友个到的饼干数各不相同至少需要1+2+3+…+15+16=这与只有135块饼干矛盾.所以一定有2个小朋友得到的饼干数目相同.练习：六甲班共有学生42人，从学校图书室借来212本书，是否有人能至少借到6本或6本以上的图书？假设无人借6本或6本以上的图书，则全班至多借书5×42=210（本）.但全班共借来212本，所以要么至少有两人借6本，要么至少有1人借7本.练习：1.有黑色、白色、黄色的筷子各8根，混杂在一起，黑暗中想从这些筷子中取出颜色不同的两双筷子，问至少要取多少根才能保证达到要求？最多取出8根只有一种颜色的

8、筷子，再取任意3根即可保证达到要求。所以至少要取11根.练习：2.在1只箱子里面放着红、黑、白三种颜色的手套各6副，如想闭着眼睛从中取出两副颜色不同的手套，问至少要取出多少只才能达到要求？12＋12＋1＝25至少取出15只手套才能达到要求.3.在23×23的方格