（浙江专用）2020版高考数学复习第六章数列与数学归纳法第5讲数列的综合应用练习（含解析）

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1、第5讲数列的综合应用[基础达标]1．(2019·杭州第一次质量预测)正项等比数列{an}中的a1、a4035是函数f(x)＝x3－4x2＋6x－3的极值点，则loga2018＝(　　)A．1B．2C．D．－1解析：选A.因为f′(x)＝x2－8x＋6，且a1、a4035是方程x2－8x＋6＝0的两根，所以a1·a4035＝a＝6，即a2018＝，所以loga2018＝1，故选A.2．已知数列{an}满足：a1＝1，an＋1＝(n∈N*)．若bn＋1＝(n－2λ)·(n∈N*)，b1＝－λ，且数列{bn}是单调递增数列，则实数λ的取值范围是(　　)A．λ

2、析：选A.因为an＋1＝，所以＝＋1，即＋1＝＋2＝2，所以数列是等比数列，其首项为＋1＝2，公比为2，所以＋1＝2n，所以bn＋1＝(n－2λ)＝(n－2λ)·2n，因为数列{bn}是单调递增数列，所以bn＋1>bn，所以(n－2λ)·2n>(n－1－2λ)·2n－1，解得λ<1，又由b2>b1，b1＝－λ，b2＝(1－2λ)·2，解得λ<，所以λ的取值范围是λ<.故选A.3．在等比数列{an}中，若an>0，且a1·a2·…·a7·a8＝16，则a4＋a5的最小值为________．解析：由等比数列性质得，a1a2…a7a8＝(a4a5)4＝16，又an>0，所以a4a5＝2.

3、再由基本不等式，得a4＋a5≥2＝2.所以a4＋a5的最小值为2.答案：24．(2019·宁波市余姚中学高三期中)已知数列{an}满足a1＝2，an＋1＝a＋6an＋6(n∈N*)．(1)设Cn＝log5(an＋3)，求证{Cn}是等比数列；(2)求数列{an}的通项公式；(3)设bn＝－，数列{bn}的前n项和为Tn，求证：－≤Tn<－.解：(1)证明：由an＋1＝a＋6an＋6得an＋1＋3＝(an＋3)2，所以log5(an＋1＋3)＝2log5(an＋3)，即Cn＋1＝2Cn，所以{Cn}是以2为公比的等比数列．(2)又C1＝log55＝1，所以Cn＝2n－1，即log5(

4、an＋3)＝2n－1，所以an＋3＝52n－1故an＝52n－1－3.(3)证明：因为bn＝－＝－，所以Tn＝－＝－－.又0<≤＝，所以－≤Tn<－.5．已知数列{an}满足a1＝且an＋1＝an－a(n∈N*)．(1)证明：1<≤2(n∈N*)；(2)设数列{a}的前n项和为Sn，证明：<≤(n∈N*)．证明：(1)由题意得an＋1－an＝－a<0，即an＋10.由0

5、－＝和1<≤2得1<－≤2，所以n<－≤2n，因此≤an＋1<(n∈N*)．②由①②得<≤(n∈N*)．6．设数列{an}的首项a1∈(0，1)，an＝，n＝2，3，4，….(1)求数列{an}的通项公式；(2)设bn＝an，证明bn＜bn＋1，其中n为正整数．解：(1)由an＝，n＝2，3，4，…，整理得1－an＝－(1－an－1)．又1－a1≠0，所以数列{1－an}是首项为1－a1，公比为－的等比数列，故an＝1－(1－a1)(n＝2，3，4，…)．(2)证明：由(1)可知an＞0，故bn＞0.所以b－b＝a(3－2an＋1)－a(3－2an)＝－a(3－2an)＝(an－1

6、)2.又由(1)知an＞0且an≠1，故b－b＞0，因此bn＜bn＋1(n为正整数)．7．(2019·宁波高考模拟)已知数列{an}中，a1＝4，an＋1＝，n∈N*，Sn为{an}的前n项和．(1)求证：n∈N*时，an>an＋1；(2)求证：n∈N*时，2≤Sn－2n<.证明：(1)n≥2时，作差：an＋1－an＝－＝×，所以an＋1－an与an－an－1同号，由a1＝4，可得a2＝＝，可得a2－a1<0，所以n∈N*时，an>an＋1.(2)因为2a＝6＋an，所以2(a－4)＝an－2，即2(an＋1－2)(an＋1＋2)＝an－2，①所以an＋1－2与an－2同号，又因为

7、a1－2＝2>0，所以an>2.所以Sn＝a1＋a2＋…＋an≥4＋2(n－1)＝2n＋2.所以Sn－2n≥2.由①可得：＝<，因此an－2≤(a1－2)·，即an≤2＋2×.所以Sn＝a1＋a2＋…＋an≤2n＋2×<2n＋.综上可得：n∈N*时，2≤Sn－2n<.8．(2019·浙江金华模拟)已知数列{an}满足a1＝，an＋1an＝2an＋1－1(n∈N*)，令bn＝an－1.(1)求数列{bn}的通项公式；(2)令cn＝，求证：c1＋c2＋…＋cn