[精品]数学模型浅谈

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1、学号：XXXXXXXX论文名：数学模型浅谈姓名：lycaner单位：北京交通大学电子信息工程学院自动化数学模型浅谈摘要：世界上一切事物都是按照一定客观规律运动，变化着，事物之间亦彼此联系制约着，无论是从浩瀚的宇宙到渺小的粒子，还是从自然科学到社会科学都是这样。事物的变化规律和实物Z间的联系规律，必然蕴含着一定的数虽关系。所以数学是认识世界和改造世界必不可少的工具，特别是在科学技术飞跃发展的今天，这一点显得尤为重要。用数学公式及法则不能直接解决实际问题，我们必须在数学和实际问题之间建立一个沟通的桥梁，我们称Z为数学模型。本文将简耍

2、介绍数学模型在科技工程中的作用，数学模型的概念和人致分类，以及建立数学模型的方法和步骤！关键词：数学模型建模分类方法和步骤首先我们通过一个简单的数学模型解决一个实际问题。明湖是北京交通大学的标志性景观Z—，同学们尤其喜爱明湖里的金鱼。然而明湖到底有多少金鱼呢？这个问题似乎难以冋答，除非将明湖里的水抽干，一条条的数！这个方法当然不可行，我们要估算金鱼的条数，，其中一个方法就是“捕获与再捕获”法。首先我们耍建立一个数学模型，假定一些与模型相适应的条件，我们认为明湖是一个和对封闭的生态系统，也就是说金血不会自山地游进游出。在调查期间不

3、会发牛:大规模的金鱼死亡或繁殖，使结果在一段时间内有意义。为估算金鱼总数，我们先后对金鱼捕捞两次，设第一次捕获“条金鱼，将它们以某种不妨碍生存的方式一一标记，然后放冋明湖。经过一段时间后进行第二次捕捞，设捕获“2条金鱼，其小m条石带有标记的。数据（N],N2，m）是我们佔算金鱼总数的依据。用“捕获与再捕获”法时，我们还要有如下数学假设：两次捕捞是独立进行的，而且无论哪次捕捞，每条鱼的捕获也是彼此独立，任何一条金鱼被捕获的机会是均等的。当然这些假设很难实地证明，但只要适当进行捕捞操作，可以认为它们还是符合要求的，卞面我们就用数学的

4、方法估算金鱼总数。假设第一次捕捞中捕获一条金鱼的概率是门，笫二次捕捞的相应概率是血，明湖中金鱼的总数为在捕捞相互独立的条件下，利用排列组合知识，可以得到数据肿出现的概率可以表示成L=P（N、,N2，m）=瑞咼（1-门）宀（1_久严2上面的表达式”H，P2，N是以参数的形式出现，它们的不同取值将使P（N,N2，m）不同，然而我们应该如何决定这些参数，尤其是N的取值呢？这里涉及有概率统计解决问题的基木想法，其处理思路是这样的：描述两次捕捞结果的数据N,N2，m是具有不确定性的，每次操作不会相同，每组数据出现的机会止比于相应的概率

5、。现在我们只进行了一次实验就得到了手头这纽N,可以合理的认为这组数据对应得概率是大的，为使问题能够从数学的角度处理，我们再进一步：假设实际参数的值使概率L达到极人值。这-点当然没有完全的逻辑依据，但显然是一•种可以接受的理性假设。因为L和lnL得极大值点是一样的，上血的想法相当说真实参数的取值使皿=0皿=0dInpx3Inp2dN将L表达式屮出现的阶乘用斯特林公式近似，则直接计算lnL的偏导数给出以下三个方程：叫_N_NN—N-N,NZ1W1、―—=—=—v―（1_卩［）（1_卩2）=1p}1-p,p21-p2N_N_N,+

6、m从中可以解出p、=NJNp2=N2/NN=NZIm这样我们就门J以得到金鱼总数的一个估计，利用更多的概率统计知识，述对以衡量估计值的谋差，进一步说明此估计的合理性。通过以上案例，我们对利用数学模型解决实际问题冇了一个基本的认识。其实科学的发展史离不开数学的，数学模型在其中又起着重要的作用。无论是在口然科学还是在社会科学，在进行理论研究时，都不是直接研究真实现象的，而是研究它们的模型——略去一些次耍的因索的一种近似写照。科学就是通过对模型的研究來阐明真实世界客观规律的。随着科学技术的进步，人们对技术的要求越来越高，从而对建立生产

7、过程的数学模型也越來越重视。数学模型在工程技术上所起的作用也H益增大，在设计，控制生产和改进生产等各个环节都越来越多地需耍了解有关的数学模型。我们知道所谓模型就是川某种形式來近似地描述或模拟所研究的对彖或过程。我们在此讨论的是模型的一个分支——数学模型。数学模型有分为数式模型和图形模型两种。图形模型是用一些图形如方松图，流程图，状态迁移图等来表示所研究的现象或过程的某种特征。而数式模型主要是数学定理和公式组成。我们再此主要介绍的是数式模型，数学（数式）模型是系统的某种特征的本质的数学表达式，即用数学式了（如函数式，代数方程，微分

8、方程,微积分方程，差分方程等）來描述（表示，模拟）所研究的客观对象或系统在某一方面的存在规律。例如考虑两个物体之间札I互作用时，对于它们之间相互吸引这种属性，可用数学式了（即牛顿万冇引力公式）以此來表示吸引力与其它因索之间的规律，这就是物质相互吸引的数学模型。乂