浙江省奉化中学高二数学(人教A版)教案选修4-5第12课时几个著名的不等式之柯西不等式

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1、课题：第12课时几个著名的不等式之一：柯西不等式目的要求：重点难点：教学过程：一、引入：除了前面己经介绍的贝努利不等式外，本节还将讨论柯西不等式、排序不等式、平均不等式等著名不等式。这些不等式不仅形式优美、应用广泛，而且也是进一步学习数学的重要工具。1、什么是柯西不等式：定理1：（柯西不等式的代数形式）设均为实数，则（a2+b2）（c2+d2）>（ac+bd）2,其中等号当且仅当ad=be时成立。证明：儿何意义：设Q,P为平面上以原点0为起点的两个非零向量，它们的终点分别为A（a,h）,B（c,d）,那么它们的数量积为Q•

2、0=ac+hd,而a=yla2+b2,

3、0

4、二推+〃2,所以柯西不等式的几何意义就是：

5、a

6、•

7、0RQ•01,其中等号当且仅当两个向量方向相同或相反（即两个向量共线）时成立。2、定理2：（柯西不等式的向量形式）设a,0为平面上的两个向量，贝ij

8、^

9、.

10、/7

11、>

12、cre/7

13、,其中等号当且仅当两个向量方向相同或相反（即两个向量共线）时成立。3、定理3:（三角形不等式）设和必,兀2*2，兀3，丁3为任意实数,则:-X2）2-y2）2+J（%2-兀3）2+（夕2-丿3）2-J（%1—兀3）2+（〉'

14、一『3）'分析:思考：

15、三角形不等式中等号成立的条件是什么？4、定理4：(柯西不等式的推广形式)：设〃为大于1的自然数，ai,bi(z=l,2,…，n)为任意nnnhhh实数，贝9：工工矿n(工40)2,其中等号当且仅当)=)=・•.=」时成立(当勺=0时，约定i=/=1/=1°2anbj=0,/—2,•••,)o证明：构造二次函数：f(x)=(a[x-bi)2+(a2x-b2)2+--+(anx-hH)2即构造了一个二次函数：/(兀)=(£q2)，一2(£匕如兀+£矿z=l/=lz=l由于对任意实数兀，/(x)>0恒成立，则其△§(),即：△

16、=4(£必)2_4(£©2)(£勺2)<0,/=1/=1/=1即：(£必)25(£吗2)(£勺2),Z=1f=li=等号当且仅当ay_b、=a2x-b2==anx-bn=0,即等号当且仅当久=—=•••=—时成立(当4=0时，约定®=0,i=1,2,…，n)o%Cl?an如果勺(10(i=12…工十2—bf=Xat(,等

17、号成立当且仅当二、典型例题：例1、已矢Wa1+b2=1,x24-y2=1,求证：例2、设a,b,c,dwR,求证：yja2+h2+7c2+d2AJ(o+c)?+(〃+〃)？。例3、设a,队丫为平面上的向量,贝01a-/?

18、4-1/?-/1>

19、6Z-/1o例4、已知a,b,c均为正数，且a+b+c=l,求证：丄+-+l>9oabc方法1：方法2：（应用柯西不等式）例5：已知G],a2,…，色为实数，求证：立宀丄(£心)2。/=1ni=l分析：推论：在刃个实数吗，色，…，匕的和为定值为S时，它们的平方和不小于丄S2,当且仅当n

20、19a=a2~999=an时，平方和取最小值一S?。n三.小结:四.练习:•x”＞。,则立右二詮2、设托gR+(i=lt2,…HV"且宗求证:n/=!12YX'XJ-

21、sinx(a+cosx)

22、(xWR)的最大值.4、求函数f{x)=a-Vsinx+by/cosx在(0,◎上的最大值，其中a,b为正常数.五.作业:1、已知：a2+b2=1,m2+n2=2,证明：一JIWam+bnuji。提示：本题可用三角换元、柯西不等式等方法来证明。2、若非负实数。证明：由z=a-x-y

23、代入+〉厂+z=—2可得2x2-2(a-y)x+(a-y)2--a2=0xEiR/•A&0即4(q—y)~—8y~+(a—y)~—ci化简可得：3y2-2ay<02。〉0A0(a2+b2)2.3194^设x,y,z为正实数，且x+y+z二10,求—I1■—的最小值。设x,y,zgR,求2x+yz的最大值。7x

24、2+2y2+z26、仝邂之三边长为4,5,6,P为三角形內部一点P,P到三边的距离分别为by,J求xSy^+z2311、设x.y,zw眄且x+2y+3z=36,求一+—+—的最小值.xyz的最小值。AABC面积=s(s—a)(s-b)(s—c)=J—x—x—x—=旷且AABOAPAB+APEC+APAC