粘性流体力学预备知识

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1、ξ1预备知识粘性流体力学参考书：流体力学基础（上、下册），清华大学，机械工业出版社流体力学（上、下），北京大学出版社高等流体力学，费翔麟编，西安交通大学出版社粘性流体力学，南京大学、重庆大学等四校合编，高教出版社粘性流体力学，张子雄、董曾南，清华大学出版社流体力学理论例题与习题，朱之墀编，清华大学出版社预备知识课程重点:1.矢量及张量分析2.理想流动的复势理论3.粘性流动（1）N-S方程及其精确解（2）边界层理论及其相似性解§1Vectoranalysis向量场任意矢量在空间正交坐标系的分量式为：其中：（i=1,2,3）为坐标轴单

2、位向量预备知识对于直角坐标系：对于圆柱坐标系：对于球坐标系：向量运算符号（1）爱因斯坦求和符号预备知识自由指标：每个下标可自由的取值。哑指标：求和不依赖于所用字母。当有两个以上的指标时，后面指标的取值可以和前面相同。当有两个指标相同（重复一次）时——爱因斯坦求和约定。记为：注意：一个指标的重复不能超过一次。例于：预备知识（2）δij（Kroneker）符号定义：任意两正交单位向量的点积（正交条件）。（3）eijk(Ricci)置换（排列）符号定义：任意两正交单位向量的叉积。即：预备知识并矢及二阶张量其中：C的分量共有9个。C是一个

3、矩阵符号，符合矩阵运算法则。0阶张量——标量1阶张量——矢量2阶张量——并矢预备知识2.向量的基本运算公式预备知识§2FieldtheoryGradient定义：数量场（标量）函数φ沿某一方向l的变化率最大的方向，记为：gradφ(或▽φ)且有：其中：▽——Hamiltonoperator(矢量微分算子)直角坐标系中：预备知识例如：性质：1）2）3）向量的梯度：若有二阶张量（梯度是法线方向方向导数矢量）在向量场中处处满足：预备知识则有：在直角坐标系中：性质：1）2）3）（向量场没有等值面）。预备知识2．Divergence定义：在

4、流体力学里，其物理意义反映了通过控制面单位体积的流量。例：二阶张量的散度：若：则有：预备知识3.Rotation速度环量：（l为可缩曲线，取逆时针方向为正）环量密度（强度）：定义：若有向量处处满足：则有：预备知识在直角坐标系中：例1：求在直角坐标系中的表达式。解：预备知识例2：证明（1）（2）（3）证（1）：预备知识证（2）：证（3）：要求：熟悉向量及▽算子的各种运算应用。预备知识4.Someimportantfields(1)Potentialfield定义：其中：u=-v,v为场的势函数，u为场的力函数。充要条件：等价命题：1

5、)有势场≡≡预备知识2)3)积分与路径无关。4)5)预备知识(2)管型场（无源场）定义：特性：上式即为不可压缩流体总流流动的连续性方程。充要条件：预备知识(3)调和场（Harmonicfield）定义：矢量场满足：性质：其中：——Laplace算子。——调和量，u——调和函数。预备知识5.Integraltheoryofthevector(1)高斯定理在空间闭域τ，曲面积s中，矢量或物理量φ在τ+s上一阶偏导数连续，则有：高斯积分定理：预备知识如l为曲面s的边界，且为可缩曲线（s为单连域），则有Stokes定理：格林公式：预备知识

6、复习：向径的表示方法柱坐标：球坐标：一般：预备知识§3Orthogonalcurvilinearcoordinates1.常用坐标(1)柱坐标M(r,ε,z)ryxzMε预备知识(3)球坐标:M(R,θ,ε)(4)自然坐标系1)轴对称M(s,ξ,η);2)平面M(s，η，z)边界层坐标系：M(ξ,η)zRθMεxy预备知识sRbηξo(3,2)边界层坐标系：M(ξ,η)2.正交系，正交性，拉梅系数(1)坐标变换若存在三个独立变量，q1,q2,q3,具有变换：预备知识（反过来）变换条件：Jacobi矩阵非奇异（可逆）。即：预备知识则

7、上述变换唯一，且有：其中：qi(i=1,2,3)构成坐标系，若q1,q2,q3正交，则构成正交系。预备知识(2)坐标轴单位向量设有曲面体微团，变长ds1,ds2,ds3,取q1,q2,q3为曲线坐标，如图所示，则有：q1q3q2ds1ds3ds2BM用（i=1,2,3）表示坐标轴单位向量，则有：预备知识(3)正交性当i≠j,为正交条件。满足：预备知识(4)拉梅系数微元弧长：注意：（i=1,2,3），这里i为自由指标，不求和。hi即为拉梅系数。预备知识例：求拉梅系数直角坐标系：圆柱坐标系：边界层坐标系：预备知识(5)微元弧长，面积，

8、体积3.坐标轴单位向量导数(1)对其它坐标轴的偏导数注意：这里非哑标，不求和，共有6个式子。预备知识例：(2)对自身坐标轴的偏导数推论：注意：上式对j有求和，共有3个式子，每个式子有两项。预备知识4.正交系下的算子▽及其运算推导：故：其中：预备知识