粘性流体力学-阎超

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1、粘性流体力学阎超北京航空航天大学第六章湍流4.雷诺方程¢湍流是高度随机的，目前，在每一时刻、对每一点的流动参数进行描述是不可能的。另一方面，人们关心的是湍流表现出的平均特性。所以用平均的概念研究湍流一直是湍流研究的主要方向之一。¢将湍流中的瞬时参数（如速度、压力等）分解成时间平均值和随机脉动值：A=A+A′¢随机脉动的频率在100－100000之间，振幅一般小于平均值的十分之一，时间平均值的定义为：t0+T1A()t=∫A()tdtTt0¢很容易证明脉动的平均值为零tT0+tT0+11A′=∫Adt′==

2、∫()AAd−t=0TTt0t0¢可证明平均值的有关运算法则：t+Tt+T∂A1∂A1⎛∂⎞∂A=∫dt=⎜⎜∫Adt⎟⎟=∂tT∂tT∂t∂tt⎝t⎠tT+1AB==∫ABdtABTtAB=+()AAB′(+B′)=+ABAB′′¢表示瞬时流动的不可压缩流的NS方程为：∂Vi=0∂xi∂Vi∂Vi1∂p2+=V−+ν∇Vji∂t∂ρx∂xji¢将速度和压力表示成时间平均值和随机脉动值之和：V=V+V′p=p+p′¢其目的是由表示瞬时流动的NS推导出表示平均流动的控制方程。¢将上式带入NS方程，并利用平均

3、值的有关运算法则，整理后可得：∂Vi=0∂xi∂Vi∂Vi1∂p2∂（6.1）+=Vj−+ν∇Vi−()VVij′′∂t∂ρx∂x∂xjij¢或写成：（6.2）∂V∂V11∂p∂i+=i−+2+Vj()μτSijij∂t∂ρx∂ρxx∂jij其中：⎛∂V⎞1∂VijS=+⎜⎟,τρ=−VV′′ij⎜⎟ijij2⎝∂xj∂xi⎠¢(6.1)(6.2)是用平均值和脉动值表示的湍流NS方程，这就是著名的雷诺方程。−ρVV′′¢与原NS相比，雷诺方程多出xy一项，该项同应力表达式相同，称为雷诺应力张量，它有六个独

4、立分量。¢由于增加了六个未知数，方程组不再封闭。¢雷诺应力的讨论：（1）粘性应力对应于分子扩散引起界面两侧的动量交换，扩散是由分子热运动引起的；雷诺应力对应于流体微团的跳动引起界面两侧的动量交换，跳动是由大大小小的旋涡（即湍流脉动）引起的；所以湍流平均运动的微元体除压力外还受到分子粘性应力和雷诺应力两种表面力作用；（2）雷诺应力张量是脉动速度的二阶相关张量；（3）分子运动的特征长度是分子平均自由程，它远小于流动的宏观尺度，而湍流脉动的最小特征尺度仍属于宏观尺度。所以雷诺应力比时均流粘性力大若干量级，起主导

5、作用，它使时均流速度分布等发生明显变化。第六章湍流5.模式理论¢雷诺方程是时均化的NS方程，但由于雷诺应力的出现，它是不封闭的。为了解决方程组的封闭问题，必须建立雷诺应力(或脉动量)与平均量间的关系，通常将这些关系称为湍流的模式理论。¢模式理论是当前流体力学、空气动力学的研究热点之一。由于目前国内外普遍使用雷诺方程计算流体力学问题，因此，模式理论具有极其重要的学术意义和工程价值。¢目前模式理论发展的很广泛，包括零方程模型、一方程模型、二方程模型（如κ－ε模型）、应力模型等等。本节将讨论Prandtl的混合

6、长度理论，由于并不增加新的微分方程，属于湍流的零方程模型。¢雷诺应力项反映了脉动速度引起的动量输运，这有些类似于分子输运项即粘性项。参照适用于粘性项的牛顿内摩擦定律，Boussinesq(1877)用涡粘性系数的概念，把雷诺切应力和时均速度梯度联系起来。在平行剪切流中，他假定雷诺切应力：dVxτρμ=−VV′′=xyxytdy¢其中μt称为涡粘性系数。写成一般式：⎛⎜dVidVj⎞⎟τ=−ρVV′′=μ+ijijt⎜⎟dxdx⎝ji⎠¢也就是将雷诺应力表示成了平均速度的函数，同瞬时NS方程一样，此时雷诺方

7、程封闭。¢分子粘性系数只由流体性质决定，而涡粘性系数不是流体的一个物性参数，它与当地的湍流结构和流动情况有关。¢Prandtl（1925）建立了涡粘性系数的半经验理论——混合长度模型。其基本思想是：湍流中流体质点的无规则运动类比于气体分子的热运动，故在流场中存在一个类似于平均自由层的尺度，该尺度是任一个流体质点与其它流体质点发生掺混改变其速度前所经过的平均距离。根据这个理论，可推知：2dVxdVxτ=−ρV′V′=ρlxyxydydy¢式中l称为混合长度，所以涡粘性系数：dV2xμρ=ltdy¢采用模式理

8、论将雷诺方程封闭后，就可以求解雷诺方程，计算出各种流动参数。¢目前在航空航天界，广泛使用Baldwin-Lomax模型，这是零方程模型的一个例子。¢湍流模式理论是用理论方法和经验，建立一些有关雷诺应力的假设，从雷诺方程得到封闭的方程组。它是工程计算常用的方法。大量的工程流体力学问题，涉及湍流，需要估计湍流的影响；例如飞行器的边界层，一般是湍流。湍流产生的阻力，湍流对边界层分离的影响，对壁面温度的影响，都是飞行器设计中十分重要的