幂函数的图像性质和应用

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1、幂函数分数指数幂正分数指数幂的意义是：（，、，且）负分数指数幂的意义是：（，、，且）1、幂函数的图像与性质幂函数随着的不同，定义域、值域都会发生变化，可以采取按性质和图像分类记忆的方法．熟练掌握，当的图像和性质，列表如下．从中可以归纳出以下结论：①它们都过点，除原点外，任何幂函数图像与坐标轴都不相交，任何幂函数图像都不过第四象限．②时，幂函数图像过原点且在上是增函数．③时，幂函数图像不过原点且在上是减函数．④任何两个幂函数最多有三个公共点．奇函数偶函数非奇非偶函数OxyOxyOxyOxyOxyOxy9OxyOxyOxy幂函数基本性质（1）所有的幂函数在（0，+∞）都有定义，并且图象都

2、过点（1，1）；（2）α＞0时，幂函数的图象都通过原点，并且在[0，+∞]上，是增函数（3）α＜0时，幂函数的图象在区间（0，+∞）上是减函数.　规律总结　　1．在研究幂函数的性质时，通常将分式指数幂化为根式形式，负整指数幂化为分式形式再去进行讨论；　　2．对于幂函数y＝，我们首先应该分析函数的定义域、值域和奇偶性，由此确定图象的位置，即所在象限，其次确定曲线的类型，即＜0，0＜＜1和＞1三种情况下曲线的基本形状，还要注意＝0，±1三个曲线的形状；对于幂函数在第一象限的图象的大致情况可以用口诀来记忆：“正抛负双，大竖小横”，即＞0（≠1）时图象是抛物线型；＜0时图象是双曲线型；＞1时

3、图象是竖直抛物线型；0＜＜1时图象是横卧抛物线型．91、幂函数的应用xOy例1、幂函数（、，且、互质）的图象在第一，二象限，且不经过原点，则有（）、为奇数且为偶数，为奇数，且为偶数，为奇数，且奇数，为偶数，且xOy例2、右图为幂函数在第一象限的图像，则的大小关系是（）解：取，由图像可知：，，应选．例3、比较下列各组数的大小：（1），，；（2），，；（3），，．解：（1）底数不同，指数相同的数比大小，可以转化为同一幂函数，不同函数值的大小问题．∵在上单调递增，且，∴．（2）底数均为负数，可以将其转化为，9，．∵在上单调递增，且，∴，即，∴．（3）先将指数统一，底数化成正数．，，．∵在上

4、单调递减，且，∴，即：．　点评：比较幂形式的两个数的大小，一般的思路是：　　（1）若能化为同指数，则用幂函数的单调性；　　（2）若能化为同底数，则用指数函数的单调性；　　（3）若既不能化为同指数，也不能化为同底数，则需寻找一个恰当的数作为桥梁来比较大小．例1、若，求实数的取值范围．分析：若，则有三种情况，或．解：根据幂函数的性质，有三种可能：或或，9解得：．例3．已知幂函数（）的图象与轴、轴都无交点，且关于原点对称，求的值．解：∵幂函数（）的图象与轴、轴都无交点，∴，∴；∵，∴，又函数图象关于原点对称，∴是奇数，∴或．例4、设函数f（x）＝x3，　　（1）求它的反函数；　　（2）分别

5、求出f－1（x）＝f（x），f－1（x）＞f（x），f－1（x）＜f（x）的实数x的范围．　　解析：（1）由y＝x3两边同时开三次方得x＝，∴f－1（x）＝x．　　（2）∵函数f（x）＝x3和f－1（x）＝x的图象都经过点（0，0）和（1，1）．　　∴f－1（x）＝f（x）时，x＝±1及0；　　在同一个坐标系中画出两个函数图象，由图可知　　f－1（x）＞f（x）时，x＜－1或0＜x＜1；　　f－1（x）＜f（x）时，x＞1或－1＜x＜0．点评：本题在确定x的范围时，采用了数形结合的方法，若采用解不等式或方程则较为麻烦．例5、求函数y＝＋2x＋4（x≥－32）值域．　　解析：设t＝x，

6、∵x≥－32，∴t≥－2，则y＝t2＋2t＋4＝（t＋1）2＋3．9　　当t＝－1时，ymin＝3．　　∴函数y＝＋2x＋4（x≥－32）的值域为［3，＋）．　　点评：这是复合函数求值域的问题，应用换元法．【同步练习】1.下列函数中不是幂函数的是（）Ａ．　　　Ｂ．　　Ｃ．　　　Ｄ．答案：Ｃ2.下列函数在上为减函数的是（）Ａ．　　　Ｂ．　　Ｃ．　　　Ｄ．答案：Ｂ3.下列幂函数中定义域为的是（）Ａ．　　　Ｂ．　　Ｃ．　　　Ｄ．答案：Ｄ4．函数y＝（x2－2x）的定义域是（　　）　A．{x

7、x≠0或x≠2}　　B．（－∞，0）（2，＋∞）C．（－∞，0）］［2，＋∞］　D．（0，2）　解析

8、：函数可化为根式形式，即可得定义域．　　答案：B5．函数y＝（1－x2）的值域是（　　）　　　A．［0，＋∞］　　　B．（0，1）C．（0，1）　　　　D．［0，1］　　解析：这是复合函数求值域问题，利用换元法，令t＝1－x2，则y＝．　　∵－1≤x≤1，∴0≤t≤1，∴0≤y≤1．9　　答案：D6．函数y＝的单调递减区间为（　　）　　A．（－∞，1）　　　　B．（－∞，0）C．［0，＋∞］　　　　　D．（－∞，＋∞）　解析：函数y＝是偶函数，且在［0，＋