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时间:2019-10-13
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1、幂函数分数指数幂正分数指数幂的意义是:(,、,且)负分数指数幂的意义是:(,、,且)1、幂函数的图像与性质幂函数随着的不同,定义域、值域都会发生变化,可以采取按性质和图像分类记忆的方法.熟练掌握,当的图像和性质,列表如下.从中可以归纳出以下结论:①它们都过点,除原点外,任何幂函数图像与坐标轴都不相交,任何幂函数图像都不过第四象限.②时,幂函数图像过原点且在上是增函数.③时,幂函数图像不过原点且在上是减函数.④任何两个幂函数最多有三个公共点.奇函数偶函数非奇非偶函数OxyOxyOxyOxyOxyOxy9OxyOxyOxy幂函数基本性质(1)所有的幂函数在(0,+∞)都有定义,并且图象都
2、过点(1,1);(2)α>0时,幂函数的图象都通过原点,并且在[0,+∞]上,是增函数(3)α<0时,幂函数的图象在区间(0,+∞)上是减函数. 规律总结 1.在研究幂函数的性质时,通常将分式指数幂化为根式形式,负整指数幂化为分式形式再去进行讨论; 2.对于幂函数y=,我们首先应该分析函数的定义域、值域和奇偶性,由此确定图象的位置,即所在象限,其次确定曲线的类型,即<0,0<<1和>1三种情况下曲线的基本形状,还要注意=0,±1三个曲线的形状;对于幂函数在第一象限的图象的大致情况可以用口诀来记忆:“正抛负双,大竖小横”,即>0(≠1)时图象是抛物线型;<0时图象是双曲线型;>1时
3、图象是竖直抛物线型;0<<1时图象是横卧抛物线型.91、幂函数的应用xOy例1、幂函数(、,且、互质)的图象在第一,二象限,且不经过原点,则有()、为奇数且为偶数,为奇数,且为偶数,为奇数,且奇数,为偶数,且xOy例2、右图为幂函数在第一象限的图像,则的大小关系是()解:取,由图像可知:,,应选.例3、比较下列各组数的大小:(1),,;(2),,;(3),,.解:(1)底数不同,指数相同的数比大小,可以转化为同一幂函数,不同函数值的大小问题.∵在上单调递增,且,∴.(2)底数均为负数,可以将其转化为,9,.∵在上单调递增,且,∴,即,∴.(3)先将指数统一,底数化成正数.,,.∵在上
4、单调递减,且,∴,即:. 点评:比较幂形式的两个数的大小,一般的思路是: (1)若能化为同指数,则用幂函数的单调性; (2)若能化为同底数,则用指数函数的单调性; (3)若既不能化为同指数,也不能化为同底数,则需寻找一个恰当的数作为桥梁来比较大小.例1、若,求实数的取值范围.分析:若,则有三种情况,或.解:根据幂函数的性质,有三种可能:或或,9解得:.例3.已知幂函数()的图象与轴、轴都无交点,且关于原点对称,求的值.解:∵幂函数()的图象与轴、轴都无交点,∴,∴;∵,∴,又函数图象关于原点对称,∴是奇数,∴或.例4、设函数f(x)=x3, (1)求它的反函数; (2)分别
5、求出f-1(x)=f(x),f-1(x)>f(x),f-1(x)<f(x)的实数x的范围. 解析:(1)由y=x3两边同时开三次方得x=,∴f-1(x)=x. (2)∵函数f(x)=x3和f-1(x)=x的图象都经过点(0,0)和(1,1). ∴f-1(x)=f(x)时,x=±1及0; 在同一个坐标系中画出两个函数图象,由图可知 f-1(x)>f(x)时,x<-1或0<x<1; f-1(x)<f(x)时,x>1或-1<x<0.点评:本题在确定x的范围时,采用了数形结合的方法,若采用解不等式或方程则较为麻烦.例5、求函数y=+2x+4(x≥-32)值域. 解析:设t=x,
6、∵x≥-32,∴t≥-2,则y=t2+2t+4=(t+1)2+3.9 当t=-1时,ymin=3. ∴函数y=+2x+4(x≥-32)的值域为[3,+). 点评:这是复合函数求值域的问题,应用换元法.【同步练习】1.下列函数中不是幂函数的是()A. B. C. D.答案:C2.下列函数在上为减函数的是()A. B. C. D.答案:B3.下列幂函数中定义域为的是()A. B. C. D.答案:D4.函数y=(x2-2x)的定义域是( ) A.{x
7、x≠0或x≠2} B.(-∞,0)(2,+∞)C.(-∞,0)][2,+∞] D.(0,2) 解析
8、:函数可化为根式形式,即可得定义域. 答案:B5.函数y=(1-x2)的值域是( ) A.[0,+∞] B.(0,1)C.(0,1) D.[0,1] 解析:这是复合函数求值域问题,利用换元法,令t=1-x2,则y=. ∵-1≤x≤1,∴0≤t≤1,∴0≤y≤1.9 答案:D6.函数y=的单调递减区间为( ) A.(-∞,1) B.(-∞,0)C.[0,+∞] D.(-∞,+∞) 解析:函数y=是偶函数,且在[0,+
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