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1、西尔维斯特的四点问题downloadMathematfcaNotebook西尔维斯特的四点问题要求的概率彳（R）随机抽取的4分在一个平面区域R有一个凸包这是一个四边形（西尔维斯特1865）。根据所选择的方法选择分无限平面上，有许多不同的解决方案，促使西尔维斯特认为“这问题确定解决方案的不承认”（西尔维斯特Pfiefer1865;1865）«点选择从一个开放的.凸的子集飞机在有限的区域的概率是在哪里Ar是预期的一个三角形区域/地区R和区域的面积是R（埃夫隆1965）oW注意,加仅仅是一个适当的计算值区域，例如，磁盘.
2、-角形挑选，二角形二角形挑选，力形.-角形挑选，等等。A/?可以准确地计算多边形三角挑选使用Alikoski的公式。35<<7W)<1-—（0.66&66W0.75W8）根据区域的形状，作为第一证明Blaschke（PeyerimhoffBlaschke1923年,1923）。下表给出了概率为各种简单平面区域（肯德尔和莫兰Pfiefer1963;1989;克罗夫特etal・1991页。54-55;Peyerimhoft1997）。R约。三角形2■0.66667广场250.69444五角大楼岂(18-區'0.7006
3、2六角<5830.70267椭圆，磁盘1-A12/r20.70448西尔维斯特的问题可以推广到要求的概率凸包的就*2在随机选择的点单位球B”有刃*1顶点。的解决方案（金曼1969,1969年GroemerPeyerimhoff1997）,这是任何有界的最大可能凸域K色氏"。第一个值(4)(5)(6)⑺(8)Pl兰135P3三着-676.039卩国全648000亓I门20-000P-呈12964479(OEISA051050和A051051).另一个泛化的概率问道“随机选择的点在一个固定的有界凸域K是一个凸的顶点兀百
4、分度。解决方案是2n(3n-3j!p="一[@・1)!F(2n)!三角域，也有前几值1,1,1,2/3,11/36,91/900,17/675,...(OEISA004677和A004824),(10)一个平行四边形域，头几个值1,151,25/36,49/144,121/3600,...（OEISA004936和A005017;1996年ValtrPeyerimhoff1996）。西尔维斯特的四点问题一个意想不到的连接直线穿越数图（芬奇2003）。磁盘三角形挑选downloadMathematfcaNoteboo
5、k选三个点P=仙「八），£2=（也。沖）,R=to•y“分布式独立和统一单位圆K（即。的内部单位圆）。然后的平均面积三角形由这些点JfJIPeKQeKReKA=便用磁盘点选择，这可以写成在哪里A=;(VUiU2sin&2一U2U1COS仿对并佻一^Uiu3H亚慮4€u2馮WK卷希!乌).三角替换可以用来消除三角函数和积分分割成在哪里A=yW)«2(I-—WyJU2(1-廉)-*呛血(I-屆)+跑寸Mg血(1一謠)E咆(〔-诡)一晒J临U?口_4-J“3(]—*'舒—h*jJ142•然而，最简单的方法来评估使用积分C
6、rofton的公式和极坐标屈服unit-radius磁盘(OEISA189511)，或35=^=0™-⑵⑶⑷⑸⑹⑺⑻单位面积磁盘(OEISA093587;Woolhouse所罗门PfieferZinani1989;1978;1867;2003)o这个问题非常密切相关西尔维斯特啲四点问题，可以派生的极限一般多边形=角挑选问题。"TW的分布地区，上文所述,显然不清楚。的概率P》三个随机点在一个磁盘组成锐角三角形是41?2,="r=(E280Z84•■・(OEISA093588;Woolhouse1886)o问题是广义的
7、大厅(1982)*1维空间球一「角挑选和布克塔(1986)给封闭的形式评估大厅的积分。球三角挑选downloadMathematfcaNotebook的分布区域-角形与随机选岀的顶点单位球上面的说明。的平均面积(1984年布克塔和穆勒，芬奇1984)<>获取一个概率的决心锐角三角形随机选择三分的单位圆广义的大厅(1982)卩维空间球。布克塔(1986)随后给封闭的形式评估大厅的积分。让P/t是三分的槪率选择独立和统一仇……•球形成一个锐角一:角形，然后t4nr[2AjwJj2w+A.tf4w+2k-J血+幻（3讯+
8、2■丘+1）ImJIJf4w+4I3Iffr+1JP2阮=4-22而f2m+2]IffK+1JC2-w+122少叱产呛)纭呵加严)这些可以组合和写在略微凌乱的封闭形式P"小2忙小D[巴创G异z(1』+1♦■扣+1;[3+3人“+1;1卜4戸2仏叭£“+1;*仇j(»+3)；1)]—在哪里＞f工m餌a不&；“是一个ji侧化超几何函数.前几个是4-j®0280
