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1、时间序列模型归纳总结复习随机时间序列分析的几个基本概念一、随机过程(StochasticProcess)定义设(Q,F,P)是概率空间，T是给定的参数集，如果对于任意tGT,都有一定义在(Q,F,P)上的随机变量X(t,3)与之对应，则称随机变量族｛X(t,3),tWT｝为随机过程。简记为｛X(t,),tWT｝或｛Xi,tWT｝或Xt离散参数的随机过程也称为随机序列或(随机)时间序列。上述定义可简单理解成：随机过程是一簇随机变W：｛XbteT｝,其中T表示时间t的变动范围，对每个固定的时刻(而言，&是一普
2、通的随机变量，这些随机变量的全体就构成一个随机过程。当t=｛0,±l,±2,...｝时，即时刻t只取整数时,随机过程｛XbteT｝可写成如下形式,｛Xbt=0,±l,±2,...｝o此类随机过程X(是离散时I'可t的随机函数，称它为随机序列或时间序列。对于一个连续时间的随机过程的等间隔采样序列，即｛X戶0,±1,±2,...｝就是一个离散随机序列。二、时间序列的概率分布和数值特征1、时问序列的概率分布一个时间序列便是一个无限维的随机向量。一个无限维随机向gX=(...,X-l,X0,Xl,...)/的概率
3、分布应当用一个无限维概率分布描述。根据柯尔莫哥夫定理，一个时间序列的概率分布可以用它有限维分布簇来描述。时间序列所有的一维分布是：…，F-l(-),F0(・)，Fl(・),•••所有二维分布是:Fij(•,・)，i,j=0,±l,±2,...,(iHj)一个时间序列的所冇冇限维分布簇的全体，称为该序列的冇限维分布簇。2、时间序列的均值函数一个时间序列的均值函数是指：比二EX严］xdFt(X)其中EXt表示在t固定时对随机变量Xt的求均值，它只一维分布簇中的分布函数Ft(・)有关。3、时间序列的协方差两数与
4、自相关函数与随机变量之间的协方差和似，时间序列的协方差函数定义为：W，s)=E(X/—h)(乙—“J=£匚(X-ZA)化-“jd/yx,Y)其中Ft,s(X,Y)为(Xt,Xs)的二维联合分布。类似可以定义时间序列的自相关函数，即：p(t,s)=K,s)/石而丽时间序列的自协方差函数有以下性质：(1)对称性：/(/,$)=了($,f)(2)非负定性：对任意正整数m和任意m个整数k】,k2,…km,方阵rwy(k],kj/(kpk2)…y(k],kj/(k2,k,)/(k2,k2)…y(k2,km)r(km
5、，ki)r(knPk2)…r(km,km)为对称非负定矩阵。时间序列的自和关函数同样也具有上述性质且有p(M)=lo二、平稳随机过程平稳时间序列是时间序列分析中一类重要而特殊的随机序列，时间序列分析的主要内容是关于平稳时间序列的统计分析。(一)两种不同的平稳性定义:1、严平稳：如果对于时间t的任意n个值(-,•••，・和任意实数£,随机过程X,的n维分布满足关系式:侏(西，兀2，・・・£站“2,…乙)=代(西，兀2,…暫站+£，2+£，・・％+£)则称乙为严平稳过程。2、宽平稳：若随机过程｛Xr,reT｝
6、的均值(一阶矩)和协方差存在，且满足(1)E[Xt｝=aV/eT(2)E[Xt+k-a^Xt-a｝=y｛k)Ft,t+kwT则称｛X„teT｝为宽平稳随机过程。通常说的平稳是指宽平稳。二者的联系:(【)严宽：因为宽平稳要求期望和协方差存在，而严平稳要求概率分布存在，而不能断言一、二阶矩存在。(II)宽严，这是不言而喻的。(III)严平稳+二阶矩存在d宽平稳。但反过來一般不成立。(IV)对于正态过程来说，有：严平稳o宽平稳(一)平稳时间序列自协方差函数和自相关函数为了叙述方便，常假定平稳时间序列乙的均值为零
7、，即£[Xj=Oo用以下记号表示平稳序列X,的自协方差函数，即rk=E[Xt+k-EXt+k][Xt-EXt](当空严0时)=EXtXt+k相应地，X,的自相关函数用以下记号a=n//o平稳序列X,的自协方差函数列和自相关函数列具有以下性质：(1)对称性：齐二人，久=宀；(2)非负定性：对于任意正整数m,■/()片…/1rm-i_/m-2，R,n=I门…An/P1•••An-2_/ni-1/m-2°•*/o_为非负定对称方阵；(3)
8、齐“,
9、加51。(二)平稳序列的样本统计量(1)样本均值吋间序列无法获
10、得多重实现，多数吋间序列仅包含一次实现，对于一个平稳序列用时间均值代替总体均值。即上式的估计是无偏的。（2）样本自协方差函数Yk=一工（&-乂）化屮-片）nr=l久=士£（—刃（心-打ATKf=i第一式是有偏佔计，第二式是无偏估计，但有效性不如第一式。其它概率性质和偏自相关函数的定义将在以后章节介绍。四、几类特殊的随机过程（序列）：1、纯随机过程：随机过程如果是由一个不相关的随机变虽的序列构成的，则称其为纯随机过程。2、白噪声
