病态线性方程组

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1、朱立永北京航空航天大学数学与系统科学学院数值分析Email:numerical_analysis@buaa.edu.cnPassword:beihang答疑时间：星期三下午2:00－5:00答疑地点：主216第四讲病态线性方程组求解第二章线性方程组的解法InScientificComputing↓LargeLinearSystemsAx=bassub-problems/asintermediatestepsGauss-SeidelmethodJacobimethodSORmethodConjugateGradientmethodfors

2、ymmetricsystemsGaussianeliminationLUfactorizationCholeskyfactorizationGMRESGCRBi-CGCGSBi-CGSTABBi-CGSTAB2GPBi-CGBi-CGSTAB(L)perturbationperturbationIt’sfunnythatsuchsmallperturbationsinthecoefficientsleadtosobigchangeinthesolution!数值算例提问：求解Ax＝b时，A和b的误差对x有何影响？由实际问题建立起来的线性

3、方程组Ax=b本身存在模型误差和观测误差，或者是由计算得到的，存在舍入误差等。总之，A,b都会有一定扰动ΔA,Δb,因此实际处理的是A+ΔA或b+Δb，我们需要分析A或b的扰动对解的影响。矩阵的条件数与病态线性方程组提问：求解Ax＝b时，A和b的误差对x有何影响？1：A非奇异，设精确，b有误差Δb，导致解x有多大误差？2：设b精确，A有误差ΔA，导致解x有多大误差？设A非奇异，

4、

5、ΔA

6、

7、

8、

9、A-1

10、

11、<13：设b，A分别有误差Δb和ΔA，导致解x有多大误差？设A非奇异，

12、

13、ΔA

14、

15、

16、

17、A-1

18、

19、<1解的相对误差A的相对误差b的相对误差

20、当方程组的系数矩阵A或右端项b受到扰动ΔA,Δb时，引起的解的相对误差完全由A·A-1来决定，它刻画了方程组的解对原始数据的敏感程度。矩阵的条件数（Conditionnumber）定义：对非奇异矩阵A，称乘积

21、

22、A

23、

24、

25、

26、A-1

27、

28、为矩阵A的条件数，记为cond（A）＝

29、

30、A

31、

32、

33、

34、A^-1

35、

36、

37、

38、A

39、

40、

41、

42、A^-1

43、

44、是我们遇到的第二个放大因子；cond（A）的具体大小与

45、

46、∙

47、

48、有关，但相对大小一致；cond（A）的大小本质取决于A，与解题的方法无关；cond（A）＝∞，如果A是奇异的。常用的矩阵条件数例：Hilbe

49、rt阵cond(H2)=27cond(H3)748cond(H6)=2.9106注：现在用Matlab数学软件可以很方便求矩阵的条件数!矩阵条件数的一些性质cond（A）≥1；A非奇异，k≠0，则cond（kA）＝cond（A）；A非奇异对称矩阵，则cond（A）2＝

50、λ1/λn

51、；A是正交矩阵，则cond（A）2＝1；A可逆，R正交，则cond(RA)2＝cond(AR)2＝cond(A)2病态、良态线性方程组定义：对线性方程组Ax＝b，若cond(A)相对很大，则称Ax＝b是病态的线性方程组；若cond(A)相对很小，则称

52、Ax＝b是良态的线性方程组。一个病态线性方程组的例子（见书上）对于严重的病态线性方程组，即使原始数据A和b都没有误差，但如果在求解过程中有舍入误差，所得到的解也会有很大的相对误差。什么样的线性方程组可能是病态的？注：一般判断矩阵是否病态，并不计算A1，而由经验得出。行列式很大或很小（如某些行、列近似相关）；元素间相差大数量级，且无规则；主元消去过程中出现小主元；特征值相差大数量级。缓和甚至解决线性方程组病态的手段采用高精度的算法（不是总有效）；通过行或列的平衡来降低矩阵的条件数（平衡法）；残差校正法；通过矩阵的预条件处理来降低

53、矩阵的条件数。残差校正法步骤：求解Ax＝b，得到x的近似解x1；校正x1，令r1＝b－Ax1，解AΔx1＝r1；x2＝x1＋Δx1；令r2＝b－Ax2，解AΔx2＝r2；x3＝x2＋Δx2；。。。令rk＝b－Axk，解AΔxk＝rk；Xk＋1＝xk＋Δxk；。。。预条件技术80年代提出，纯代数观点M近似A,求解(左预条件)My=c易解相当于化学反应中寻找高效、廉价的催化剂，能极大地提高迭代方法的速度。预条件技术(续)代数预条件技术ILU、SPAI、SOR、多项式几何预条件技术某方向压缩粗化、网格均匀化、区域规则化近似分析预条件技术变系数

54、常数化、Green函数稀疏近似、强化椭圆型物理预条件量纲平衡、物理参数逼近、状态方程近似、某些物理项简化、算子分裂高级预条件MG、DDM、快速变换（FFT）、基底变换法作业教材第46页习题11、12.