数学建模-模糊数学

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1、一模糊集合及其运算二模糊聚类分析三模糊综合评判四模糊线性规划Part2:模糊数学2021/9/1www.shumo.cn一、经典集合与特征函数集合：具有某种特定属性的对象集体。通常用大写字母A、B、C等表示。论域：对局限于一定范围内进行讨论的对象的全体。通常用大写字母U、V、X、Y等表示。论域U中的每个对象u称为U的元素。模糊集合及其运算2021/9/1www.shumo.cn在论域U中任意给定一个元素u及任意给定一个经典集合A，则必有或者，用函数表示为：其中函数称为集合A的特征函数。模糊集合及其运算202

2、1/9/1www.shumo.cn罗素（Russell）悖论：在一个孤岛上唯一的一个理发师，其工作是“专门替那些不给自己刮胡子的人刮胡子”，现问理发师本人该不该给自己刮胡子？取论域U={全岛刮胡子的人}，集合A={不给自己刮胡子的人}，用特征函数刻画为问题：显然理发师，那么理发师是否属于A？模糊集合及其运算2021/9/1www.shumo.cn二、模糊集合及其运算美国控制论专家Zadeh教授正视了经典集合描述的“非此即彼”的清晰现象，提示了现实生活中的绝大多数概念并非都是“非此即彼”那么简单，而概念的差异

3、常以中介过渡的形式出现，表现为“亦此亦彼”的模糊现象。基于此，1965年，Zadeh教授在《InformationandControl》杂志上发表了一篇开创性论文“FuzzySets”,标志着模糊数学的诞生。模糊集合及其运算2021/9/1www.shumo.cn1、模糊子集定义：设U是论域，称映射确定了一个U上的模糊子集。映射称为隶属函数，称为对的隶属程度，简称隶属度。模糊子集由隶属函数唯一确定，故认为二者是等同的。为简单见，通常用A来表示和。模糊集合及其运算2021/9/1www.shumo.cn模糊子

4、集通常简称模糊集，其表示方法有：（1）Zadeh表示法这里表示对模糊集A的隶属度是。如“将一1,2,3,4组成一个小数的集合”可表示为可省略模糊集合及其运算2021/9/1www.shumo.cn（3）向量表示法（2）序偶表示法若论域U为无限集，其上的模糊集表示为：模糊集合及其运算2021/9/1www.shumo.cn2、模糊集的运算定义：设A，B是论域U的两个模糊子集，定义相等：包含：并：交：余：表示取大；表示取小。模糊集合及其运算2021/9/1www.shumo.cn几个常用的算子：（1）Zadeh

5、算子（2）取大、乘积算子（3）环和、乘积算子模糊集合及其运算2021/9/1www.shumo.cn（4）有界和、取小算子（5）有界和、乘积算子（6）Einstain算子模糊集合及其运算2021/9/1www.shumo.cn3、模糊矩阵定义：设称R为模糊矩阵。当只取0或1时，称R为布尔（Boole）矩阵。当模糊方阵的对角线上的元素都为1时，称R为模糊自反矩阵。（1）模糊矩阵间的关系及运算定义：设都是模糊矩阵，定义相等：包含：模糊集合及其运算2021/9/1www.shumo.cn并：交：余：例：模糊集合及

6、其运算2021/9/1www.shumo.cn（2）模糊矩阵的合成定义：设称模糊矩阵为A与B的合成，其中。例：模糊集合及其运算2021/9/1www.shumo.cn（3）模糊矩阵的转置定义：设称为A的转置矩阵，其中。（4）模糊矩阵的截矩阵定义：设对任意的称为模糊矩阵A的截矩阵，其中模糊集合及其运算2021/9/1www.shumo.cn例：模糊集合及其运算2021/9/1www.shumo.cn三、隶属函数的确定1、模糊统计法模糊统计试验的四个要素：（1）论域U；（2）U中的一个固定元素（3）U中的一个随

7、机运动集合（4）U中的一个以作为弹性边界的模糊子集A，制约着的运动。可以覆盖也可以不覆盖致使对A的隶属关系是不确定的。模糊集合及其运算2021/9/1www.shumo.cn特点：在各次试验中，是固定的，而在随机变动。模糊统计试验过程：（1）做n次试验，计算出（2）随着n的增大，频率呈现稳定，此稳定值即为对A的隶属度：模糊集合及其运算2021/9/1www.shumo.cn2、指派方法这是一种主观的方法，但也是用得最普遍的一种方法。它是根据问题的性质套用现成的某些形式的模糊分布，然后根据测量数据确定分布中所

8、含的参数。3、其它方法德尔菲法：专家评分法；二元对比排序法：把事物两两相比，从而确定顺序，由此决定隶属函数的大致形状。主要有以下方法：相对比较法、择优比较法和对比平均法等。模糊集合及其运算2021/9/1www.shumo.cn模糊聚类分析一、基本概念及定理2021/9/1www.shumo.cn模糊聚类分析2021/9/1www.shumo.cn例：设　　　　　　　　　　对于模糊等价矩阵模糊聚类分析2021/9