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1、浅析分段函数林政刚(福建省惠安嘉惠中学,362100)分段函数是高中数学中常见的一类函数表达形式,在现实生活中有广泛的应用价值,而课本中没冇单独进行介绍，在平时教学和考试中却经常遇到，特别足奇考中常常出现.学生在学习、理解和应用分段函数时存在一些困难.分段函数是对自变蜀的不同取值范围,有不完全相同的对应法则的函数.分段函数的各段合并成一个整体，其函数的定义域是各段自变量取值范围的并集，函数的值域是各段函数值域的并集.本文举例介绍分段函数一些类型与解题方法，希望对学习者有所帮助.一、求分段函数值求分段函数的值时，一定要认真分析口变世所在的区间，因为各段上的解析式是不相同的.
2、例1艮心)二『穴学次则llog3(d-1)产M2,/(/(2))的值为()(A)0(B)l(C)2(D)3分析/(2)=log3(22・1)=1.又・・T<2,・・./(l)=2e,_,=2.故/(/(2))=/(l)=2,选C・二、求分段函数的解析式故硬币落下后与格线有公共点的概率•62_9*2.有限区域例6在地上画一正方形线框，其边长等于6cm,现用直径等于2cm的硬币投向方框,硬币完全落在正方形外的不计，求硬币完全落入正方形内的概率.分析因硬币完全落在正方形外的悄况不计，故只耍考虑硕币的圆心均匀地分布在如图10所示的“曲边正方形”内，具中仙CD是边长为6的正方形，它
3、的四周是四个+圆及四个矩形且BE=1.当且仅当硬币圆心落入边长为4的正方形出QG0内时，硬币才完全落入正方形ABCD内.设“硬币完全落入正方形内”为事件仏则P⑷=个_s鬃心=例5与例6这两个问题看起来很类似，但例5的网格有无限多，只要考虑硬币与一个正方形内切，不考虑外切.若考虑硬币部分落在一个正方形外，实则又落到了另外的正方形内.例6中只有一个正方形，必须考虑硬币与正方形内外切两种悄况，否则就不包括换币部分落在形外，显然不全面.那么如何区分是有限问题还足无限问题呢？英实很简单，有限问题一般有这样的提示：“完全落在形外的不计"•容易记吧！的定义域，函数在各段自变量的取值范围
4、.(A)y例2(2005年上海高考题)对定义域分别是0,2的函数7=/(^),y=g(x),规定：(B)y函数h(兀)=rf(x)•g(x),当％eD/IixeDkf(x),当尤wD/口久$D—(C)yg(%),当力GE且xeDg・(1)若函数/(切=,g(%)=x,写X-I(D)y出西数人(第)的解析式；分析在求分段函数的解析式时，应注意函数x,x<0r2x,%^0IJ■裳、x<0=卩"0I-J■x、x<0r2x,xM0l-<0当久MO时』=2%可求出它的反尤W(-8」)U(l,+8),例4函数y=/(X)=/(x)分析先分別求出7=f(x)，/=g(x)的定义域,再根
5、据规定求出函数人(久)的解析式.解(1)人&)=x=L例3已知函数/(兀)=x2-2%+3,将/(x)在［从+1］上的最小值记为g(t),试求g(f)的表达式.分析按函数y=/(x)图象的对称轴兀=1与区间+1］的位置关系，分三种情形进行讨论：当对称轴在区间右侧时，g(f)=f(t+1)二『+2；当对称轴在区间内时,g(f)=/(x)的最小值为/(I)=2；当对称轴在区间左侧时，g(f)=/(0=z2-2t+3.,t2+2Q<0),・•・g(t)=2(0W上W1),t2-2t+3(t>1).三.求分段函数的反函数求分段函数的反函数，可在定义域各段区间内求它的反两数，若在某
6、个区间上不是，一一映射，则函数不存在反函数.2甞=°，的反函数是-x,x<0函数为y=寺(20)；同理可求八0时的反函数，选C.四、解含分段函数的不等式对于分段函数型的不等式，用分类讨论的思想进行求解，即分段求解集，然后求它们的并集.例5已知函数,%W1,(x2-1),x>1,求不等式/(切M2的解集.分析因为给定函数的自变量在不同的范围时，函数的表达式不同，所以在解不等式时,应分区间讨论，在各个区间上求出不等式的解集，再求它们的并集.解(1)当%^1时，不等式/匕)M2即为e"M2,解得第MIn2+1，于是原不等式无解.(2)当x>1时gM2即为log"-1)M2,解得
7、尤M丿币或力W-庾，于是原不等式的解为％M/10：综上，原不等式的解集为(/10,+00).五、分段函数的单调性在判断、求分段函数的单调区间时，应进行分段求解，若不是连续的单调区间，要分开表达，不能将它们用并集的形式表述.例6已知函数圧(-00,+00)上的减函数，那么。的取值范•13•J(3a-1)x+4atx<1tIlog*xM1围是()(A)(O,I)(B)(0,y)(C)［于，寺)(D)&」).分析要使函数/(*)在(-00,+00)±为减函数，依题意可知，当*Ml时.0
