必修一 第二章 基本初等函数(Ⅰ) 对数函数及其性质 指数函数与对数函数的关系

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1、阅读教材P73，并完成下列各题：1．函数y＝ax(a>0且a≠1)与函数互为反函数．y＝logax(a>0且a≠1)3．指数函数与对数函数性质对照表名称指数函数对数函数一般形式y＝ax(a>0，且a≠1)y＝logax(a>0，且a≠1)定义域(－∞，＋∞)(0，＋∞)值域(0，＋∞)(－∞，＋∞)单调性01时为单调增函数01时为单调增函数．名称指数函数对数函数函数值变化情况名称指数函数对数函数图象y＝ax的图象与y＝logax的图象关于直线y＝x对称．底数变化情况第一象限内的图象所对应的指数函数的底数逆时针逐渐增大.

2、第一象限内的图象所对应的对数函数的底数逆时针逐渐减小.4.一般地，如果函数y＝f(x)是一一对应的，则y＝f(x)存在反函数，故单调(严格)函数一定存在反函数．求反函数时，将y＝f(x)看作关于x的方程，解方程得x＝g(y)改写为y＝g(x)即得反函数，反函数的定义域和值域分别为原来函数的和．值域定义域5．设y＝f(x)存在反函数，并记作y＝f－1(x)，(1)如果点P(x0，y0)在函数y＝f(x)的图象上，则必有f－1(y0)＝.(2)函数y＝f(x)与其反函数y＝f－1(x)的图象关于直线对称．(3)函数y＝f(x)与其反函数y＝f－1(x)的单调性．x0y＝x相同本

3、节重点：反函数的概念，互为反函数的两个函数的关系，指数函数与对数函数性质的比较．本节难点：互为反函数的两个函数的关系．[例1]求函数y＝log2

4、x

5、的定义域，并画出它的图象，由图象指出它的单调区间．[分析]可化为分段函数，利用函数图象的对称特征简化图象的作法．A．(－1,0)B．(0,1)C．(－∞，0)D．(－∞，0)∪(1，＋∞)[解析]∵f(x)为奇函数，∴f(－x)＝－f(x)对定义域内的任一x值均成立．[例3]若函数y＝f(x)的图象过点(1,0)，且函数g(x)＝f(4－x)存在反函数，则g(x)＝f(4－x)的反函数图象必过点________．[解析]由题意

6、有f(1)＝0，又g(3)＝f(4－3)＝f(1)＝0，∴函数g(x)的反函数图象过点(0,3)，故填(0,3)．[例4]设f(log2x)＝2x(x>0)，则f(3)＝()A．128B．256C．512D．8[解析]解法1：令log2x＝t，则x＝2t，∴f(t)＝，∴f(3)＝＝28＝256.解法2：令log2x＝3，则x＝8，∴f(3)＝28＝256.选B.设方程2x＋x－3＝0的根为α，方程log2x＋x－3＝0的根为β，求α＋β的值．[分析]直接解方程是十分困难的，运用数形结合思想，借助于函数的图象，注意到指数函数与对数函数的关系则使问题易于解决．[解析]将方程整

7、理得2x＝－x＋3，log2x＝－x＋3可知α是指数函数y＝2x的图象与直线y＝－x＋3交点A的横坐标；β是对数函数y＝log2x的图象与直线y＝－x＋3交点B的横坐标．由于函数y＝2x与函数y＝log2x互为反函数，它们的图象关于直线y＝x对称，所以A、B两点也关于直线y＝x对称，故A(α，β)、B(β，α)，且两点都在直线y＝－x＋3上，故α＋β＝3.A．a

8、而由对数函数的单调性得出a、b、c的取值范围，即可确定a、b、c的大小关系．一、选择题1．已知函数f(x)＝2x＋1(x≥0)，设f(x)的反函数为g(x)则g(9)＝()A．9B．3C．513D．511[答案]B[解析]设g(9)＝m，则f(m)＝9，即2m＋1＝9，∴2m＝8，∴m＝3.2．函数y＝ax与y＝－logax(a>0，a≠1)在同一坐标系中的图象形状只能是()[答案]A[解析]首先y＝ax与y＝－logax的单调性相反，排除C、D；其次y＝－logax的定义域{x

9、x>0}，排除B，故选A.A．a

10、．若函数y＝ax＋b－1(a>0，且a≠1)的图象经过第二、三、四象限，则一定有()A．00B．a>1，且b>0C．01，且b<0[答案]C[解析]如图所示，图象与y轴的交点在y轴的负半轴上，即a0＋b－1<0，∴b<0，又图象经过第二、三、四象限，∴0