指数函数与对数函数性质

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1、第2讲函数、基本初等函数的图象与性质1.函数的三要素：定义域、值域、对应关系两个函数当且仅当它们的三要素完全相同时才表示同一个函数，定义域和对应关系相同的两个函数是同一函数.2.函数的图象对于函数的图象要会作图、识图、用图.作函数图象有两种基本方法：一是描点法，二是图象变换法，其中图象变换有平移变换、伸缩变换、对称变换.3.函数的性质（1）单调性如果对于定义域I内某个区间D上的任意两个自变量的值x1,x2,且x1f

2、(x2)成立，则f(x)在D上是减函数）.（2）奇偶性对于定义域内的任意x(定义域关于原点对称),都有f(-x)=-f(x)成立,则f(x)为奇函数(都有f(-x)=f(x)成立，则f(x)为偶函数）.（3）周期性周期函数f(x)的最小正周期T必须满足下列两个条件：①当x取定义域内的每一个值时,都有f(x+T)=f(x);②T是不为零的最小正数.一般地，若T为f（x）的周期，则nT（n∈Z）也为f(x)的周期，即f(x)=f(x+nT).（4）最值一般地，设函数y=f（x)的定义域为I,如果存在

3、实数M满足：①对于任意的x∈I,都有f(x)≤M(f(x)≥M)；②存在x0∈I,使f(x0)=M，那么称M是函数y=f(x)的最大值（最小值）.4.函数单调性的判定方法（1）定义法：取值，作差，变形，定号，作答.其中变形是关键，常用的方法有：通分、配方、因式分解.（2）导数法.（3）复合函数的单调性遵循“同增异减”的原则.5.函数奇偶性的判定方法(1)定义域关于原点对称是函数具有奇偶性的必要条件.（2）对于定义域内的任意一个x，若都有f(-x)=f(x),则f(x)为偶函数.若都有f(-x)=

4、-f(x),则f(x)为奇函数.若都有f(-x)-f(x）=0，则f(x)为偶函数.若都有f(-x)+f(x)=0，则f(x)为奇函数.6.指数函数与对数函数的图象和性质指数函数对数函数定义形如y=ax(a>0且a≠1)的函数叫指数函数形如y=logax(a>0且a≠1)的函数叫对数函数图象定义域R{x

5、x>0}值域{y

6、y>0}R过定点（0，1）（1，0）单调性01时，在R上单调递增a>1时,在(0,+∞）上是单调递增0

7、性质00时，0101时，y<0当00a>1,当x>0时，y>1当x<0时，01,当x>1时，y>0当01,若仅有一个常数c使得对于任意的x∈［a，2a］，都有y∈［a，a2］满足方程logax+logay=c,这时a的取值的集合为.思维启迪将方程问题转化成函数，同时注意定义域和值域.解析∵logax+logay=c，∴logaxy=c（c>0）.∴xy=ac,由于仅有一个

8、常数c,使x∈［a，2a］时，y∈［a,a2］满足方程.因此［a,a2］应是函数在x∈［a，2a］时的值域（因为常数c只有一个，从而函数的定义域确定时，值域也是确定的).∵a≤x≤2a，且a>1，探究提高题目中的方程是一个不定方程，其实质是一个函数（隐函数），求出这个函数的解析式是解题的突破口，解题的关键是理解“对于任意的x∈［a，2a］，都有y∈［a，a2］”指的是“函数在［a，2a］上的值域是［a，a2］的子集”，然后利用不等式理论及题意，求出常数a.答案{2}变式训练1（2009·山东理，

9、10）定义在R上的函数f(x)满足则f(2009)的值为（）A.-1B.0C.1D.2解析当x＞0时，因为f(x)=f(x-1)-f(x-2),∴f(x+1)=f(x)-f(x-1).∴f(x+1)=-f(x-2),即f(x+3)=-f(x).∴f(x+6)=f(x).即当x＞0时，函数f(x)的周期是6.又∵f(2009)=f(334×6+5)=f(5),∴由已知得f(-1)=log22=1，f(0)=0,f(1)=f(0)-f(-1)=-1,f(2)=f(1)-f(0)=-1,f(3)=f(

10、2)-f(1)=-1-(-1)=0,f(4)=f(3)-f(2)=0-(-1)=1,f(5)=f(4)-f(3)=1.C二、函数的性质例2设k∈R，函数F（x）=f（x）-kx，x∈R.试讨论函数F（x）的单调性.思维启迪本题可以分k=0，k>0,k<0三种情况讨论，对于k=0，及k>0中x≥1,k<0中x<1,可用基本初等函数单调性直接判断，而对于k>0中x<1,k<0中x≥1,需用导数法判断.解对于当k≤0时,函数F(x)在(-∞,1)上是增函数;当k>0时,函数F(x)在上是减函数,在上是