资源描述：
《【精品】场论分析》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在工程资料-天天文库。
1、场论分析第一节方向导数与梯度—、方向导数现在我们来讨论函数乙=f.V)在一点P沿某一方向的变化率问题.定义设函数H在点p(X,y)的某一邻域U(p)内有定义.自点P引射线设兀轴正向到射线/的转角为0(逆时针方向：0>0；顺时针方向：Ovo),并设(尤+△上的另一点且PfwU(p).我们考虑函数的增量/(兀+△兀，〉‘+△y)—/(兀,刃与p、两点间的距离J(山尸+(A)y的比值.当—沿着/趋于戶时，如果这个比的极限存在，则称这极限为函数/(兀,刃在点P沿方向/的方向导数，记作5/,即Sf/(x+A%,y+Ay)-/(x,y)N=hmCip->oP(1)从定义可知，当函数f30在点P(X，y
2、)的偏导数/y存在时，函数在点P沿着X轴正向ei={i，o},y轴正向el=M的方向导数存在且其值依次为/y，函数f(兀刃在点戶沿兀轴负向刃={一1，0},y轴负向^={0,-1}的方向导数也存在且其值依次为/、/■关于方向导数81的存在及计算，我们有下血的定理.定理如果函数z=f(x,y)在点P(x,y)是可微分的，那末函数在该点沿任一方向的方向导数都存在，且有0=—cos^+—sin^,dlOxdy其中0为兀轴到方向/的转角.证根据函数z=在点p(兀，刃可微分的假定，函数的增量可以表达为/(兀+心,)，+Ay)一fg)=呂心+%+心).oxoy两边各除以0,得到Ay万叱•SQ5f¥5f
3、一ayf(x+心y+Ay)一f(x.y)dxpdf=—COS0+dx7./(x++Ay)一f(x.y)hmQTOPdfdf•=hcos0+=sin(p.所以dxdy这就证明了方向导数存在且其值为dfofdf—=—COS0+—Sin69.dldxdy例8・26求函数z=在点P(1,0)处沿从点P(1,0)到点《2(2,-1)方向的方向导数._71w这里方向/即向量PQ={i，j}的方向，因此兀轴到方向/的转角°一一才，竺=小更=23,dx彷亘］亘2因为在点(1，°),&，內.故所求方向导数—=1-cos(-—)+2sin(-—)=一^-・dl442例8・27设「I］原点到点(兀*)的向径为r
4、,x轴到r的转角为°,x轴到射线/的转角为dr。，求药,其中心Sr_x&jF+bdrJ兀2+y2(厂北0)解因为—=COS&,r=—=sin0+)/r竺=COS处OS0._個、所以QI+sin&sin0=cos(&—(p).a—h可知，当0二&时，81，即厂沿着向径本身方向的方向导数为1;而当dl,即r沿着与向径垂直方向的方向导数为零.dr由例8-26(p=e±-2时，角为G、0、了)的方向导数，同样可以定义为Sf1・/(x+心,y+Ay,z+Az)-/(x,”z)77=lim対于三元函数心/(兀,y，z)來说，它在空间一点戶(兀,〉沁)沿着方向“设方向/的方向P其中p=7(Ax)2+(A
5、y)2+(Az)2，△兀=pcosa,AJ=Pcos^,Az=Pcos/.同样对以证明，如果函数在所考虑的点处对微分，那末函数在该点沿着方向/的方向导数为dfdfdfdf—=—costz+—cosp+—cosy.dldxdydz二、梯度1•梯度的定义与方向导数有关联的一个概念是函数的梯度.定义设函数z=/(x,y)在平面区域D内具有一阶连续偏导数，则对丁•每一点(兀,都可定出一个向量dxdy这向量称为惭数z=(x*)在点pgy)的梯度，记作gmd/gy),即匹妙j,gradf(x,y)=dxdy如果设^=cos^+sin^是与方向/同方向的单位向量，则由方向导数的计算公式可知空止cos0+
6、堂sin。=徑鮒•{cossin。}dldxdy[fix:dy1>=gradf(x,y)-e=gradf(x9y)
7、cos(gradf(x,y)A,e).这里，(g"df(兀，刃八，c)表示向量Wdf(兀,刃与幺的夹角.由此可以看出，就是梯度在射线/上的投彩，当方向/与梯度的方向一致时，有cos(^adf(x,y)-,e)=1,从而引有最大值.所以沿梯度方向的方向导数达到最大值，也就是说，梯度的方向是函数f(九刃在这点增长最快的方向•凶此，我们可以得到如下结论：函数在某点的梯度是这样一个向量，它的方向与取得最大方向导数的方向一致，而它的模为方向导数的最大值.山梯度的定义可知，梯度的模为
8、当去不为零时，那末兀轴到梯度的转角的止切为tan。=牛dx我们知道，一般说来二元函数Z=f(x9y)在儿何上表示一个曲面，这曲面被平面z二c(c是常数)所截得的曲线I的方程为Iz=c.这条曲线/在面上的投影是一条平面曲线〃(图8-W),它在x°y平面宜角坐标系中的方程为/(x,y)=c.对于曲线上的一切点，已给函数的函数值都是c,所以我们称平面曲线〃为函数z=〃,y)的等高线.由丁•等高线/（兀,）0=c上任一点（x,y
