一元二次不等式恒成立题型

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1、一元二次不等式恒成立专题例题：设函数f(x)＝mx2－mx－1.(1)若对于一切实数x，f(x)<0恒成立，求m的取值范围；(2)对于x∈[1,3]，f(x)<－m＋5恒成立，求m的取值范围.(3)对于任意m∈[1,3]，f(x)<－m＋5恒成立，求实数x的取值范围.解：　(1)要使mx2－mx－1<0恒成立，若m＝0，显然－1<0，满足题意；若m≠0，则即－40时，g(x)在[1,3]上是增函

2、数，∴g(x)max＝g(3)＝7m－6<0，∴00，又m(x2－x＋1)－6<0，∴m<.∵函数y＝＝在[1,3]上的最小值为，∴只需m<即可.综上所述，m的取值范围是.5(3)解　f(x)<－m＋5，即mx2－mx－1<－m＋5，m(x2－x＋1)－6<0.设g(m)＝m(x2－

3、x＋1)－6.则g(m)是关于m的一次函数且斜率x2－x＋1＝2＋＞0.∴g(m)在[1,3]上为增函数，要使g(m)<0在[1,3]上恒成立，只需g(m)max＝g(3)<0，即3(x2－x＋1)－6<0，x2－x－1<0，方程x2－x－1＝0的两根为x1＝，x2＝，∴x2－x－1<0的解集为，即x的取值范围为.练习：1.当x∈(1,2)时，不等式x2＋mx＋4<0恒成立，则m的取值范围是________.解析：　构造函数f(x)＝x2＋mx＋4，x∈[1,2]，则f(x)在[1,2]上的最大值为f(1)或f(2).由于当x∈(1,2)时，不等式x2＋mx＋4<0恒成立.则

4、有即可得所以m≤－5.2.若不等式x2＋mx＋1≥0的解集为R，则实数m的取值范围是(　　)A.m≥2B.m≤－2C.m≤－2或m≥2D.－2≤m≤2答案　D解析　由题意，得Δ＝m2－4≤0，∴－2≤m≤2.3.当不等式x2＋x＋k>0恒成立时，k的取值范围为________.答案　解析　由题意知Δ<0，即1－4k<0，5得k>，即k∈.3.若关于x的不等式x2－4x－m≥0对任意x∈(0,1]恒成立，则m的最大值为(　　)A.1B.－1C.－3D.3答案　C解析　由已知可得m≤x2－4x对一切x∈(0,1]恒成立，又f(x)＝x2－4x在(0,1]上为减函数，∴f(x)mi

5、n＝f(1)＝－3，∴m≤－3，∴m的最大值为－3.4.对任意a∈[－1,1]，函数f(x)＝x2＋(a－4)x＋4－2a的值恒大于零，则x的取值范围是(　　)A.13C.12答案　B解析　设g(a)＝(x－2)a＋(x2－4x＋4)，g(a)＞0恒成立且a∈[－1,1]⇔⇔⇔x<1或x>3.5.对于任意实数x，不等式(a－2)x2－2(a－2)x－4<0恒成立，则实数a的取值范围是(　　)A.(－∞，2)B.(－∞，2]C.(－2,2)D.(－2,2]答案　D解析　当a－2≠0时，即解得－2

6、恒成立，综上所述，－2

7、＋ax＋3－a≥0恒成立，必须且只需Δ＝a2－4(3－a)≤0，即a2＋4a－12≤0，∴－6≤a≤2，∴a的取值范围为[－6,2]．(2)f(x)＝x2＋ax＋3＝2＋3－.①当－<－2，即a>4时，f(x)min＝f(－2)＝－2a＋7，由－2a＋7≥a，得a≤，∴a不存在；②当－2≤－≤2，即－4≤a≤4时，f(x)min＝3－，由3－≥a，得－6≤a≤2，∴－4≤a≤2；5③当－>2，即a<－4时，f(x)min＝f(2)＝2a＋7，由2a＋7≥a，得a≥－7，∴－7≤a<－4.综上，a的取值范