一元二次方程的解集及其根与系数的关系

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1、一元二次方程的解集及其根与系数的关系第8页共8页一元二次方程的解集及其根与系数的关系丹东市教师进修学院宋润生只含有一个未知数（一元），并且未知数项的最高次数是2（二次）的整式方程叫做一元二次方程．一元二次方程的一般形式为，其中是二次项，是二次项系数；是一次项；是一次项系数；是常数项．一、一元二次方程的解集使一元二次方程左右两边相等的未知数的值就是这个一元二次方程的解，一元二次方程的解也叫做一元二次方程的根．一元二次方程的解（根）的集合叫做一元二次方程的解集．设一元二次方程的解集为，．（1）当时，．（2）当时，．（3）当时，

2、．例1．不解方程，判断下列方程的根的情况：（1）；（2）；例2．已知关于x的方程kx22（k+1）x+k1=0有两个不相等的实数根，（1）求k的取值范围；（2）是否存在实数k，使此方程的两个根是互为相反数？若存在，求出k的值；若不存在，说明理由．解：（1）．（2），所以，，不满足，所以不存在实数k，使此方程的两个根是互为相反数．二、一元二次方程根与系数的关系一元二次方程的解集及其根与系数的关系第8页共8页当时，一元二次方程有有两个不相等的实数根，．那么．．当时，一元二次方程有有两个相等的实数根．那么，．如果一元二次方程的两

3、个实数根是，，那么．也就是说，对于任何一个有实数根的一元二次方程，两根之和等于方程的一次项系数除以二次项系数所得的商的相反数；两根之积等于常数项除以二次项系数所得的商．这就是一元二次方程根与系数的关系，也叫韦达定理（法国数学家弗朗索瓦·韦达（FrançoisViète，1540－1603））．韦达定理的应用（1）不解方程，利用根与系数的关系可以检验两个数是不是一元二次方程的两个根；（2）已知方程的一个根，求方程的另一根及未知系数；（3）不解方程，可以利用根与系数的关系求关于x1、x2的对称式的值．此时，常常涉及代数式的一些

4、重要变形；例如：①．②．③．④．一元二次方程的解集及其根与系数的关系第8页共8页⑤．⑥．例3．已知方程的一个根是3，求它的另一根及的值．例4．求作一个一元二次方程，使它的两根分别是，．例5．设，是方程的两根，不解方程，求下列各式的值：（1）；（2）；（3）．例6．在Rt△ABC中，∠C=90，a，b，c分别是∠A，∠B，∠C的对边，a，b是关于x的方程的两根，求AB边上的中线长．练习题1．下列方程，有实数根的是A．B．C．D．答案：C2．设关于x的方程x2（2k1）x＝k2+2k+3，当k为何值时，（1）有两个不相等的实数

5、根？（2）有两个相等的实数根？（3）没有实数根?答案：（1）；（2）；（3）．3．已知关于的方程有两个不相等的实数根，若，那么的最大值是________．答案：，的最大值是1．4．已知一元二次方程的根的判别式△=4，则这个方程的根为_____．答案：，根为2和4．5．若关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，则的取值范围是A．B．C．D．一元二次方程的解集及其根与系数的关系第8页共8页答案：B6．关于的一元二次方程A．没有实根B．有两相等实根C．有两不相等实根D．可能有实根答案：C，．7．已知a，b，c是△ABC的三边长，

6、且方程（a2+b2）x2-2cx+1＝0有两个相等的实数根．请你判断△ABC的形状．答案：直角三角形，，得．8．关于方程的两实数根是，，的说法正确的是A．B．C．D．以上都不对答案：D9．已知方程的一个根是2，则它的另一个根及的值分别为______．答案：的值，另一个根．10．已知方程x2﹣2（m2﹣1）x+3m=0的两个实数根的倒数和等于0，则A．m=±1B．m=﹣1C．m=1D．m=0答案：B11．一元二次方程的两根为、，则A．3B．6C．18D．24答案：A12．已知的两实数根是，，则的值为______．答案：13．

7、若方程的两实数根是，，则的值为______．答案：414．设，为关于x的方程x2+2mx+m2+3m﹣2=0两个实根，求的最小值．答案：．，．一元二次方程的解集及其根与系数的关系第8页共8页，当时取最小值．15．已知，是关于x的方程的两个实数根，若，求的值．答案：．时，．所以因为，所以，解得或．当时，不成立，所以．16．设a，b是方程的两个实数根，则的值为______．答案：2017．．17．已知关于的方程的两根的平方和等于4，求的值．答案：．．，，解得或．其中使．18．若方程2x2－(k＋1)x＋k＋3＝0的两根之差是1

8、，求k的值．答案：．．．令得，所以或．其中使．19．已知x1，x2是关于x的方程x2+mx+n=0的两根，x1+1，x2+1是关于x的方程x2+nx+m=0的两根，求m，n的值．答案：．，，．20．以和为根的一个一元二次方程为______．答案：．21．求作一个一元二次方程，使它的两根分别是方程各根的负