第五讲方阵问题

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1、第五讲方阵问题学生排队，士兵列队，横着排叫做行，竖着排叫做列.如果行数与列数都相等，则正好排成一个正方形，这种图形就叫方队，也叫做方阵.方阵包括：空心方阵（下右图）和实心方阵（下左图）・而实心方阵的每一层又可以单独看成一个空心方阵，因此空心方阵的规律对它也是适用的.方阵问题就是计算组成实心方阵、空心方阵的物体的个数。弄清方阵中物体数量之间的关系对解答这类题是大有帮助的。方阵的基本特点是：①实心方阵：总人（或物）数二每边人（或物）数X每边人（或物）数.②方阵不论在哪一层，每边上的人（或物）数量都相同.每向里一层,每边上的人数就

2、少2,每层总数就少&③每边人（或物）数和每层总数的关系:每层总数二[每边人（或物）数-1]x4；每边人（或物）数二每层总数m4+1.Qooaboooo驗正方形队列例1二年级舞蹈队为全校做健美操表演，组成一个正方形队列，后来由于表演的需要，又增加一行一列，增加的人数正好是17人，那么原来准备参加健美操表演的有多少人？分析与解：因增加的是一行一列，而行、列人数仍应相等，但为什么增加的却是17人，因有1人是既在他所在的行，又在他所在的列.若把它减掉，剩下人数恰是原两行或两列的人数，则原来一行或一列的人数可求.参加健美操表演的人数可

3、求.列式：（17-1）-2=16-2=8（A）,8X8=64（A）・例2学生进行队列表演，排成了一个正方形队列，如果去掉一行一列，要去掉门人，问这个方阵共有多少人？分析与解：学生排成一正方形队列表演，去掉一行一列，去掉了们人，那我们就要思考每行去掉了几个同学，因为是正方形队列，所以每行每列人数一样多，但在数的时候，站在角落的同学被数了两个，那么现在求每行的人数时就要在11里面多加一个•现在每行的人数是：（11+1）-2=6（人），共6X6=36（人）・例3某校三年级学生排成一个方阵，最外一层的人数为36人，问方阵外层每边有多

4、少人？这个方阵共有三年级学生多少人？分析与解：（法1）方阵外层每边有：（36+4）-4=10（人）（人），共10x10=100（人）・（法2）方阵外层每边有：36-4+1=10（人），共10x10=100（人）・例4小明在一个正方形的棋盘里摆棋子，他先把最外层摆满，用了40个棋子，求最外层每边有多少棋子？如果他要把整个棋盘摆满，还需要多少棋子？分析与解：首先根据“每边的个数=总数m4+仁求出每边的棋子数：40-4+1=11（个），根据"每向里一层每边棋子数减少2",求出最外面数的第二层中每边各有：11-2=9（个）棋子，利用

5、求实心方阵总个数的方法就可以求出还需：9x9=81（个）棋子.例5用棋子摆成一个二层空心方阵，外层每边6个棋子，求这个二层空心方阵的棋子点数。分析与解：方法一，求两层总共棋子的个数，可以分别求出各层棋子的个数，再将它们合起来。如图（1）得：（6-1）x4=20,20-8=12,20+12=32（个）先求出每部分的棋子数，再求出总的棋子个数。或者如图（2）:平均分成相等的四部分,（6-2）x2x4=32（个）(2)(1)例6节日来临，同学们用盆花在操场上摆了一个空心花坛，最外层的一层•••••4每边摆了12盆花，一共3层，一共

6、用去多少盆花？：［分析与解：（法1）不论是空心不是实心方阵，每向里一层，每边的花盆就少:■2个，每层的花盆就少8个，因此可以依次求出每层花盆的个数.最外层有花盆：:（12-1）x4=44（盆），第二层有：4牛8=36（盆），第三层有：36・8二28（盆），共:有：44+36+28=108（盆）.•••••■（法2）将三层花盆分成四块，形成四个相等的长方形.它们的长是（12-3）（盆），宽是3（盆），（12-3）x3=27（盆），即每个长方形中包括27（盆）花盆,再将结果乘以4就得到总数是108（盆），于是我们可以总结为：空心

7、方阵中点的总个数=（最外层每边的个数-层数）x层数x4・（法3）也可以将这种情况看作从一个大的实心方阵中取出一个小的实心方阵.大的实心阵的边长为12,取出的小的实心方阵边长为12-2-2-2=6,所以空心方阵中点的总个数=12x12-6x6=108（盆）例7同学们用64盆花排出一个两层空心方阵，后来又决定在外面再增加一层成为三层方阵,还需多少盆花？分析与解：对于两层方阵，外层比内层多8盆，两层共64盆，利用和差问题的解法，可以求出外层盆数，从而得出需增加的盆数，（64+8）—2+8=44（盆）.例8—队战士排成三层空心方阵多

8、出16人，如果空心部分再加一层又少28人，这队战士共有多少人？如果他们改成实心方阵，每边应有多少人？分析与解：把多余的16人放在方阵内部还少28人，可见方阵内部增加一层，需要16+28=44人，因此向外三层的每层人数都可以求出.从内向外每层人数依次是：第一层:16+28+8=52（人），第