量子力学-new-2-2

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1、①由粒子运动实际情况正确写出势函数V(x)②代入定态薛定谔方程③解方程④解出能量本征值和相应的本征函数⑤求出概率密度分布及其他力学量▲量子力学解题的一般思路§2.2方势①自由粒子②方势阱方势阱无限深方势阱▲几种势函数方势阱方势阱：实际情况的极端化和简化分子束缚在箱子内三维方势阱金属中的电子③势垒梯形势散射问题势垒隧道贯穿④其他形式超晶格谐振子▲二阶常系数齐次线性微分方程的解特征方程a金属V(x)V=V0V=V0EV=0x极限V=0EV→∞V→∞V(x)x0a无限深方势阱(potentialwell)1、无

2、限深方形势阱，离散谱V=0EV→∞V→∞V(x)x0a特点：粒子在势阱内受力为零势能为零在阱内自由运动在阱外势能为无穷大在阱壁上受极大的斥力不能到阱外①势函数粒子在阱内自由运动不能到阱外(1)薛定谔方程和波函数阱外0阱内0②哈密顿量③定态薛定谔方程阱外：阱内：0根据波函数有限的条件阱外1)阱外④通解令2)阱内通解A和B是待定常数⑤由波函数标准条件和边界条件定特解通解：ⅰ解的形式ⅱ能量取值A已经为零，B不能再为零由上式能量可能值：1)每个可能的值叫能量本征值2)束缚态：粒子能量取值离散(能级概念)-

3、---能量量子化3)最低能量不为零讨论与经典不同，是微观粒子波动性的表现，“静止的波”是没有意义的。当n趋于无穷时能量趋于连续;ⅲ本征函数系由归一化性质，确定常数B本征函数构成本征函数系。意义：是本征函数也是本证函数振动因子（驻波解）⑥定态波函数⑦概率密度本征能量和本征函数的可能取值(2)小结：一维无限深方势阱中粒子的波函数和概率密度oaao时，量子经典符合玻尔对应原理2Ψnan很大En0平均效应明显2、有限深对称方势阱势的特点：空间反射对称0xa/2-a/2V0V0V(x)E在阱外(经典禁区)令解都

4、是方程的解？现在是有限深的情况！在阱内(经典允许区)令解令(5)式由再利用(6)式试考虑：如何由求3、束缚态与分立谱的讨论分析：束缚态能量是分立的。相应动量也是分立的。定态方程在束缚态边界条件下求解定态方程的结果。从波函数变化规律来解释这一现象解解能量可能取值及波函数的节点数？0xa/2-a/2V0V0V(x)E也不满足束缚态条件总之，基态波函数无节点，激发态（能量较高的束缚态）节点数依次增加。而且能量越高，振荡越激烈。