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1、2.4.2抛物线的几何性质本节教材分析：1.三维目标：(1)知识与技能目标：使学生理解并掌握抛物线的几何性质,并能从抛物线的标准方程出发，推导这些性质.从抛物线的标准方程出发，推导抛物线的性质，从而培养学生分析、归纳、推理等能力(2)过程与方法目标：在与椭圆、双曲线的性质类比屮获得双曲线的性质，进一步体会数形结合的思想，掌握利用方程研究曲线性质的基本方法.(3)情感、态度与价值观目标：在合作、互动的教学氛围中,通过师心之间、学生之间的交流、合作、互动实现共同探究，教学相长的教学活动情境，结合教学内容，培养学生科学探索精神、审美观和
2、科学世界观，激励学生创新.2.教学重点：抛物线的几何性质3.教学难点：抛物线几何性质的运用新课导入设计导入一：【导入设计】1.抛物线的定义是什么？请一同学回答.应为：“平面内与一个定点F和一条定直线1的距离相等的点的轨迹叫做抛物线•”2.抛物线的标准方程是什么？再请一同学回答.应为：抛物线的标准方程是y2=2px(p>0),y'=-2px(p>0),x2=2py(p>0)和x2=-2py(p>0).下面我们类比椭圆、双曲线的几何性质，从抛物线的标准方程y2=2px(p>0)出发来研究它的几何性质.《板书》抛物线的几何性质【导入构想
3、】由椭圆、双曲线的儿何性质研究方法入手，循序渐进，便于研究问题.导入二：【导入设计】先复习抛物线的定义、四类标准方程以及相应的焦点坐标、准线方程.然后提出：为了准确而简便地画出抛物线的图形，应对抛物线的标准方程所对应的图形的位置有一个大体的估计，为此要先对抛物线的范围、对称性、截距进行讨论•还应明确，把抛物线的定义与椭圆、双曲线加以对比，提出抛物线的离心率等于1.【导入构想】画图自然需要一些定量的分析，需要掌握图形的一些特点，因此需要研究曲线的几何性质.1.教学建议：抛物线是学生比较熟悉的曲线，有前面讨论椭圆、双曲线的几何性质的基
4、础，再讨论抛物线的几何性质不会很麻烦，但要注意：抛物线的性质和椭圆、双曲线比较起来，差别较大，它的离心率等于1,它只有一个焦点、一个顶点、一条对称轴和一条准线•它没有中心，通常称抛物线为无心圆锥曲线，而称椭圆和双曲线为有心圆锥曲线.对应抛物线的四种标准方程，应要求学生熟练地掌握•可利用表格进行比较强化.还应注意抛物线不是双曲线的一支•两种曲线延伸趋势不相同，当抛物线上的点趋于无穷远时，它在这一点切线的斜率接近于X轴所在直线的斜率，也就是抛物线接近于与X轴平行；而双曲线上的点趋近于无穷远时，它的切线的斜率接近于它的渐近线的斜率；双曲
5、线有渐近线而抛物线没有渐近线.例2是关于抛物线的实际应用问题，教学时可让学生阅读教科书的“圆锥面与圆锥曲线”这篇材料，了解圆锥曲线的光学性质及其在生活中的广泛应用.1.新课讲授过程(i)抛物线的几何性质通过和椭圆、双曲线的几何性质相比，抛物线的几何性质有什么特点？学生和教师共同小结：(1)抛物线只位于半个坐标平面内，虽然它也可以无限延伸，但是没冇渐近线.(2)抛物线只有一条对称轴，这条对称轴垂直于抛物线的准线或与顶点和焦点的连线重合，抛物线没有中心.(3)抛物线只有一个顶点，它是焦点和焦点在准线上射影的中点.(4)抛物线的离心率要
6、联系椭圆、双曲线的第二定义，并和抛物线的定义作比较.其结果是应规定抛物线的离心率为1.注意:这样不仅引入了抛物线离心率的概念，而且把圆锥曲线作为点的轨迹统一起来了(ii)例题讲解与引申•例题1已知抛物线的顶点在原点，对称轴是x轴，抛物线上的点M(-3,m)到焦点的距离等于5,求抛物线的方程和m的值.解法一：由焦半径关系，设抛物线方程为y2=-2px(p＞0),则准线方因为抛物线上的点M(-3,m)到焦点的距离
7、MF
8、与到准线的距离晦的塞足)相寺，斯以
9、MF]=
10、UK
11、,ff5=
12、-3
13、fr
14、由此得P=4.因此，所求抛物线方程为y2
15、=-8x.又点M(-3,m)在此抛物线上,故m2=-8(-3).in=或m=解法二：由题设列两个方程，可求得p和m・由学生演板.由题意却M线的方程为只=Q»(p：＞Q),则尉是FG駅0)＞因点MC-玄m)在抛物线上MIMF
16、=5,故氐此.拋物线方程天如的值为2书或-2示.例2过抛物线y2=2px(p>0)的焦点F的一条直线与这抛物线相交于A、B两点，且A(xl,yl)、B(x2,y2)(图2-34).求证■九乃Vi4证明：••舷F为©臥(1)当AB与x轴不垂岂时，设AB方程为:y由F蚁*2）僦ky3-2py-kpa-0.W"2F«
17、此方程的两根yl、y2分别是A、B两点的纵坐标，则有yly2二-p2・为直线AB的旄为"孑所呱争”=T或yl=-p,y2=p,故yly2=-p2・综合上述有yly2二-p2又VA(xl,yl)、B(x2,y2)是抛物线上的两点-2p®p且y：・2叫
