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1、一、分块矩阵及其性质（-）分块矩阵1、分块矩阵的概念川纵线与横线将矩阵A划分成若干个小矩阵:例如可记作12032）40240435658753205378丿1£2、1人22丿AA其中<43、<565、<12、<032、,%=,A
2、=87，^22=532.40<240?//<05><378,像这样，每个小矩阵称为A的子块，以子块为元的形式上的矩阵称为分块矩阵.2、分块矩阵的运算⑴加法:（每馬±（3几”=（每+B几”（2）数乘：k（A九=kfk是数量）（3）乘法：（州）加（血）和=（Cij）ms'Cjj=AikBk.（z=1,...,加,j=1,...丿）Jt-1⑷转置：
3、（每几爲说明：在规则（1）中，人与3的分块方法须完全相同；在规则（3）中，人的列的分法MB的行的分法须相同.（-）分块矩阵的性质性质1设方阵A是由如下分块矩阵组成工AA=B}B2GC2人、G丿其中知A2fB、,B2fB3,C]fC2>C3都是mx矩阵，M是任一加阶方阵.对于矩阵厶B=MB、MB?G丿性质其屮岀矩阵/ABi+MC%b2+mcc2
4、B
5、=
6、M
7、
8、A
9、2设矩阵A是由如下分块矩阵组成%,4,血，d，B2,B3,G，C2,C3都是mxn矩阵，M是任一加阶方阵.对于
10、A
11、=D"Aa2aJWb2b；A=B、B2B$‘A=A力2£Gc25、C[C2C3>则设方阵A和A
12、写成如下形式性质其中A,,A2,A3,B,B2,B3,C,C2,C3都是mxn矩阵,
13、A
14、,当加为偶数时-同，当加为奇数时可以证明，对于一般分块矩阵也具冇类似性质•同时，这些性质不仅对行成立，对列也同样成立.(三)矩阵按行分块和按列分块将炬阵进行分块，可以是矩阵的结构变得更加清晰，有利于在研究线性方程组时，根据需要而采用不同的表达形式.下血讨论的按行分块和按列分块，这在矩阵的乘法和线性方程组的讨论屮很重要.mx/I矩阵A有加行,称为矩阵A的加个行向量，将第i行记作a：=(ail9ai2,...9ain)(i=,29...,m)则矩阵A可记为A=z■■■Td丿mx,1
15、矩阵A有斤列，称为矩阵A的〃个列向量，若将第丿•列记作/、Wj幻=:(;=1,2,•••,/?)■则A=(6fptz2,---,tzn).对于线性方程组坷內+坷2兀2+•••+%£=2勺內+如兀+…+勺届=优J4“內+勺”2兀2+…+色””兀””=饥记4=（知）为英系数矩阵,x=：为未知数向量,2、b=:为常数项向量,几丿则此方程可记作Ax=h.若将系数炉阵按行分成加块,则线性方程^Ax=b可记成(T>內T0C2■■X=h2•■■T1如丿则Ax=b若将系数矩阵A按列分斤成块，则与A相乘的x相应地应该按行分成九块,可记成（、T入內(TeAmAnxn=•■•a[•■k&"
16、)•TG丿若记A，”二di3g（人，…,人”）,人=（知）欣“'则A”x”A“=仏宀，…，。“）■■&北丿、=（人^，人勺,…，人"“）•二、分块矩阵在证明方面的应用（-）分块矩阵在矩阵的秩的相关证明中的应用1、分块矩阵在矩阵乘积秩的证明中的应用定理1R⑷）WR⑷,且/?（AB）WR（B）,则R（AB）Wmin{R（A）,R（B）}.证明令Cmxs=Amxn-B眉,A=（44…色），C=（y屛2…人）则‘％如…叽、（”/，…亿卜⑴宀…①）妇如…纭••••••A1仇2…%/1=^II«I+M2+---+Vn"也+也+…+也3乙=久M+优$勺+…+化、4”所以（甘2…人）可由
17、（⑷宀…陽）线性表示则R⑴WR（II）,即R（C）=R（AB）WR（A）令C=〃2■••,B=02■■■所以/71a\alHi。21。22…如02■■•••••••amam2••••••CImn/•♦■<71~a\P+。2102+…+G”10“〃2=如20】+如02+・・・+色20“5严陥A+匕”202+…十％A所以（〃］，帀2…％）可由（01，02…禹）线性表示则R（III）18、如下:由于即B=(B】B2..BJAB=O(gAB.…ABJ=O即AB：=0(z=1,2,•••,/?)说明B的各列Bt都是AX=O的解.从而R（B（B2•…Bn）<基础解系-/?（A）即/?（A）+/?（B）(E、()E)9(AAB+A+BRWB(AAB+A+BRWB(A0)R=0BAB+
