计算机控制系统3

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1、第三章计算机控制系统数学基础3.1差分方程3.2z变换3.3逆z变换3.4脉冲传递函数3.1差分方程在连续系统中，表示输出和输入信号关系的数学模型用微分方程和传递函数来描述；在离散系统中，则用差分方程、脉冲传递函数和离散状态空间表达式三种方式来描述。差分方程的一般概念差分方程的求解1.差分方程的一般概念一般情况下，线性常系数差分方程的输入r为一序列，用r=r(k)={r(0),r(1),r(2),…}来表示；输出y也是一序列，用y=y(k)={y(0),y(1),y(2),…}来表示。则系统的输入与输出之间可以用线性常系数差分方程来描述，即其中，aj，bj是由系

2、统物理参数确定的常数。2.差分方程的求解差分方程的经典解法例3.1差分方程的经典解法与微分方程的解法类似。其全解包括对应齐次方程的通解和非齐次方程的一个特解。差分方程的迭代解法例3.2如果已知系统的差分方程和输入值序列，则在给定输出值序列的初始值之后，就可以利用迭代方法计算出任何时刻的输出值。原理：根据初始条件(边界条件)，逐步递推计算出后面各时刻的输出，即由前一时刻的已知结果，递推出后一时刻的待求值。3.2z变换z变换的定义z变换的性质和定理用z变换法解线性常系数差分方程例3.3采用z变换法解线性常系数差分方程和利用拉氏变换法解微分方程相类似。解的过程是先将差

3、分方程经z变换后成为z的代数方程，然后求出未知序列的z表达式Y(z)，最后查z变换表或用其他方法求得y(k)。1.z变换的定义在拉氏变换中引入新复变量从而有F(z)称为离散时间函数f*(z)的z变换。z变换实际是一个无穷级数形式，它必须是收敛的。就是说，极限存在时，f*(z)的z变换才存在。2.z变换的性质和定理线性性质求和定理平移定理初值定理z变换的性质和定理终值定理z变换的微分z变换的积分比例尺变化卷积定理设则3.3逆z变换所谓逆z变换，是已知z变换表达式F(z)，求相应离散序列f(kT)的过程。常用的z反变换法有如下三种：部分分式展开法；幂级数展开法(长除

4、法)；留数计算法。部分分式展开法幂级数展开法(长除法)留数计算法1.部分分式展开法部分分式展开法又称查表法，其基本思想是根据已知的F(z)，通过查z变换表找出相应的f(kT)。然而z变换表的内容有限，需要把F(z)展开成部分分式以便查表。具体方法和求拉氏变换的部分分式展开法类似，分为特征方程无重根和有重根两种情况。例3.4例3.52.幂级数展开法由z变换的定义可以看出序列f(kT)值是上述幂级数中z-k的系数，对于用有理函数表示的z变换，可以直接用分母去除分子，得到幂级数的展开形式，如果级数是收敛的，则级数中z-k的系数就是f(kT)的值。在用长除法求系数时，F

5、(z)的分子和分母都必须写成z-1的升幂形式。例3.63.留数计算法实际遇到的z变换式F(z)，除了有理分式外，也可能有超越函数，此时用留数法求z反变换比较合适。当然，这种方法对有理分式也适用。设已知z变换函数F(z)，则可证明F(z)的z反变换f(kT)值，可由下式计算即f(kT)等于的全部极点的留数之和。例3.73.4脉冲传递函数1.脉冲传递函数的定义2.脉冲传递函数的求法3.脉冲传递函数与差分方程4.开环脉冲传递函数5.闭环脉冲传递函数1.脉冲传递函数的定义线性离散系统的脉冲传递函数定义为零初始条件下，系统或环节的输出采样函数z变换和输入采样函数z变换之比

6、。设开环离散系统如图3.3所示，系统输入信号为r(t)，采样后r*(t)的z变换函数为R(z)。经虚设的采样开关后得到输出采样函数y*(t)及其z变换Y(z)。则根据定义得线性定常离散系统脉冲传递函数图3.3开环离散系统2.脉冲传递函数的求法脉冲传递函数的含义是：系统脉冲传递函数G(z)就是系统单位脉冲响应g(t)的采样值g*(t)的z变换。即用下式表示当系统的传递函数G(s)已知时，可按下列步骤求取脉冲传递函数G(z)用逆拉氏变换求脉冲过渡函数g(t)=L-1[G(s)]将g(t)按采样周期离散化得g(kT)根据上式求得脉冲传递函数G(z)3.脉冲传递函数与差

7、分方程根据z变换及z反变换的性质，脉冲传递函数与差分方程之间可以相互转换。典型的线性离散系统的差分方程可以写成在系统初始条件为零的情况下，对上式求z变换系统的脉冲传递函数为例3.8例3.94.开环脉冲传递函数串联环节之间有采样开关情况串联环节之间无采样开关情况输入处无采样开关情况例3.10串联环节之间有采样开关情况因为所以有同理有因此此时开环脉冲传递函数图3.5串联环节之间有采样开关串联环节之间无采样开关情况因为则有此时开环脉冲传递函数为图3.6串联环节之间无采样开关输入处无采样开关情况因为故有图3.7输入处无采样开关当输入处无采样开关时，求不出输出对输入的脉冲

8、传递函数，只能求出输出采