曲线地切线和法面、密切面

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1、实用标准§1.2曲线的切向量、切线和法面、密切平面假设中的三个分量具有我们所需要的各阶导数。一、切向量的定义及求法z对曲线进行研究，从曲线的割线及割线的极限入手。（1）定义如图给出曲线上一点，点是曲线上邻近的一点，经过和的直线称为曲线的一条割线。当点沿着曲线趋近于点时，若割线趋近于一定的位置，则我们把这个割线的极限位置称为曲线在点处的切线。而定点文档大全实用标准叫做切点。直观上看，切线是通过点的所有直线当中最贴近曲线的直线。设曲线的参数方程是，。设是该曲线上的一点，记为，，给一个增量，考虑曲线上的另外一点记，；则有，在割线上作向量，使得文档大全实用标准；当（即）时，如果有着确定的极限，则，根据

2、曲线的切线的定义，那么这个极限就是切线上的一向量，称它为曲线在点处的切向量。也就是说，定义为曲线的切向量，用来表示。（2）切向量的求法因为，文档大全实用标准令得。特别，对平面曲线，①：，切向量为切线的斜率。②曲线切向量为切线的斜率。平面曲线的切线方程和法线方程。例1、求圆文档大全实用标准的切向量。解：切向量是所以，这表明与垂直。二、切线方程曲线在点处的切线方程为，，文档大全实用标准，，这称为切线方程的点向式。三、曲线的法平面经过切点而垂直于切线的平面，称为曲线的法平面或法面。下面导出曲线的法平面方程。设曲线上一点，它所对应的参数为，点的向径是，是法面上的任一点，文档大全实用标准则由，得，若设，

3、，则得法面方程为。四、光滑曲线定义8.2设曲线，如果，则称是曲线的一个奇点。如果,称为是曲线的一个正则点（或正常点）。例如，文档大全实用标准，，是曲线的一个奇点，其它点为正则点。由，得，在处不可导。画出曲线图象。例曲线，，，，文档大全实用标准当时，有，均为曲线的奇点，其它点为正则点画出曲线图形。注：，是奇点，，不是奇点，表示同一条曲线，原因是变换不是正则的。定义如果曲线全由正则点组成，则称这条曲线是一条正则曲线。文档大全实用标准设曲线，，如果切向量的三个分量都是上的连续函数，并且，则称曲线是一条光滑曲线。设曲线（），如果在上连续，并且，则称曲线是一条光滑曲线。如果曲线表示式（）中的函数是阶连续

4、可微的函数，则把这曲线称为类曲线。记号，，等的涵义。文档大全实用标准例如：圆柱螺线是一条光滑曲线，且是类曲线（任意正整数）。（这种曲线，也称为无穷次光滑曲线。）分段光滑的曲线概念。分段光滑的曲线的图例，出现被使用的场合。例1.求曲线在点处的切线和法平面方程.解因及点对应参数所以曲线在点M处的切向量为于是所求的切线方程为；文档大全实用标准法平面方程为即例2、求曲线上平行于直线的切线方程.解已知直线的方向向量由于曲线的切向量平行于向量所以解得切点坐标为文档大全实用标准切向量为所以切线方程为即例3.设曲线在任一点的法平面都过原点,证明此曲线必在以原点为球心的某个球面上.解任取曲线上一点曲线过该点的法

5、平面方程为:由于法平面过原点，得于是，文档大全实用标准即曲线在球面上.例4.设参数曲线段，它的分量和在上连续，在内可导，并且对，有，我们称由与两点决定的直线段为这条参数曲线段的弦.求证：曲线上至少有一点使得曲线在这点上的切线与弦平行.证:由柯西中值定理,存在,使得,弦的斜率为,曲线上点处的切线斜率为,两者相等,故弦线与文档大全实用标准点处的切线平行,结果得证.五、空间曲线的密切平面经过上面的讨论，我们知道，在类曲线的正常点处，总存在一条切线，它是最贴近曲线的直线。下面我们将指出，对于一条类空间曲线而言，过曲线上一点有无数多个切平面，其中有一个最贴近曲线的切平面，它在讨论曲线的性质时起很重要的作

6、用。定义1过空间曲线上点的切线和点邻近一点可作一平面，当点沿着曲线趋于时，平面的极限位置称为曲线在点的密切平面。现在我们找出密切平面的方程。给出类的空间曲线：。设曲线上的和文档大全实用标准点分别对应参数和。根据泰勒公式，有，其中，。因为向量和都在平面上，所以它们的线性组合也在平面上。当点沿着曲线趋于时，，这时不动，但，这个线性组合向量就趋于，所以平面的极限位置是向量和所确定的平面。也就是说，如果和不平行，即，文档大全实用标准这两个向量及点就完全确定了曲线在点的密切平面。根据以上的讨论，曲线在点的密切平面的方程是，其中表示点的密切平面上任意一点的向径。上式也可以用行列式表示为。定义2给出类的空间

7、曲线：。设曲线上的和点分别对应参数和。过点作由张成的切平面，文档大全实用标准当点沿着曲线趋于时，平面的极限位置称为曲线在点的密切平面。现在我们找出密切平面的方程。的方程为，其法方向为，，当点沿着曲线趋于时，，，平面的法向量的极限为，就是的法方向，故曲线在点的密切平面的方程是，其中表示点的密切平面上任意一点的向径。文档大全实用标准密切平面的几何意义：设曲线上的和点分别对应参数和。过点作一平面，考查点