曲线论 曲线切线和法平面

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1、§2.3曲线的切线和法面给出曲线上一点，点是的临近一点（如图1），把割线绕点旋转，使点沿曲线趋于点，若割线趋近于一定的位置，则我们把这个割线的极限位置称为曲线在点的切线.定点称为切点.直观上看，切线是通过切点的所有直线当中最贴近曲线的直线。设曲线的参数方程是，切点对应参数，点对应参数（如图2），则有。在割线上作向量，使得。图2当（即）时，若在可微，则由向量函数的微商可得向量的极限。根据曲线的切线定义，得到的极限是切线上的一向量，它称为曲线上一点的切向量。由于我们已经规定只研究曲线的正常点，即，所以曲线上一点的切向量是存在的。而这个切向量就是切线上的一个非零向量。由以上的推导过

2、程可以看出，这个切向量的正向和曲线的参数4的增量方向是一致的。现在我们导出曲线上一点的切线方程。我们仍设曲线上一个切点所对应的参数为，点的向径是，是切线上任一点的向径（如图3），因为，则得点的切线方程为，其中为切线上的参数。下面再导出用坐标表示的切线方程。设，，则由上述切线方程消去得到，这是坐标表示的切线方程。例1求圆柱螺线在处的切线方程。解：易得，，时，有，，所以切线的方程为4，即。如果用坐标表示，则得切线方程为，即。经过切点而垂直于切线的平面称为曲线的法平面或法面。下面导出曲线的法面方程。设曲线上一点，它所对应的参数为，点的向径是，是法面上任一点的向径（如图4），则由得到

3、曲线的法面方程为。若设，，则由上述法面方程得到，这就是坐标表示的法面方程。4例2求圆柱螺线在处的法面方程。解：易得，，时，有，。所以法面的方程为，即，整理后得到。4