陶华君抽象函数常见题型解法

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1、抽象函数常见题型解法抽象函数是指没有给出函数的具体解析式，只给出了一些体现函数特征的式子的一类函数。由于抽象函数表现形式的抽象性，使得这类问题成为函数内容的难点之一•抽象性较强，灵活性大，解抽象函数重要的一点要抓住函数中的某些性质，通过局部性质或图象的局部特征，利用常规数学思想方法(如化归法、数形结合法等)，这样就能突破“抽象”带来的困难，做到胸有成竹.另外还要通过对题目的特征进行观察、分析、类比和联想，寻找具体的函数模型，再由具体函数模型的图象和性质来指导我们解决抽象函数问题的方法。常见的特殊模型：特殊模型抽象函数正比例函数f(x)

2、=kx(kHO)f(x+y)=f(x)+f(y)幕函数f(x)=xnf(xy)=f(x)f(y)[或f(xf(x)]yf(y)指数函数f(x)=ax(a>0且aHl)f(x+y)=f(x)f(y)[或f(%y)=f(x)“f(y)对数函数f(x)=logax(a>0且aHl)f(xy)=f(x)+f(y)[^f(2L)=f(x)_f(y)Jy正.余弦函数f(x)=sinxf(x)=cosxf(x+T)=f(x)正切函数f(x)=tanx「、、f(X)+f(y)f(X+y)=1-f(x)f(y)余切函数f(x)=cotxf(—y)J—f

3、(x)+f(y)一•定义域问题多为简单函数与复合函数的定义域互求.例1・若函数y二f(x)的定义域是[—2,2],则函数y二f(x+1)+f(x—1)的定义域为评析：已知f(x)的定义域是A,求兀))的定义域问题，相当于解内函数加兀)的不等式问题。练习：已知函数f(x)的定义域是[-1,2],求函数f(10g](3-x)]的定义域。II丿例2：已知函数/(log3x)的定义域为[3,11],求函数f(x)的定义域。评析：己知函数/(©(兀))的定义域是A,求函数f(x)的定义域。相当于求内函数0(兀)的值域。练习：定义在(3,8]±的

4、函数f(x)的值域为[-2,2],若它的反函数为f1(x),则y=e(2-3x)的定义域为，值域为O二、求值问题——抽象函数的性质是用条件恒等式给岀的，可通过赋特殊值法使问题得以解决。怎样赋值?需要明确目标，细心研究，反复试验；例3.①对任意实数x,y,均满足f(x+y2)=f(x)+2[f(y)J2且f(l)HO,则f(2001)=・②R上的奇函数y=f(x)W反函数y=F(x),由y=f(x+l)与y=L(x+2)互为反函数，则f(2009)=例4.已知f(x)是定义在R上的函数，且对任意xWR都有f(x+5)Nf(x)+5,f(

5、x+l)Wf(x)+l・若g(x)=f(x)+l-x,WJg(2002)=.1练习：1.f(x)的定义域为(Q-KX5),对任意正实数x,y都有f(xy)=f(x)+f(y)且f(4)=2,则()2.如卧+y)g)f(y),且f(g,贝喘+鬻+埸+•••+牆的值是.厂⑵+门2)+/(4)+厂(3)+/(6)+厂(4)+/(8)=/(I)/(3)/(5)/(7)3、对任意整数函数y=f(x)满足：f(x+y)=f(x)+f(y)+xy^l9若/(1)=1,则/(-8)=A.-lB.lC.19D.434、函数f(x)为R上的偶函数，对xe

6、R都有/(x+6)=/(x)4-/(3)成立，若/(D=2,则/(2005)=()A・2005B.2C.lD.O5、定义在R上的函数Y=f(x)W反函数Y=f1(x),又Y=f(x)i±点(2,1),Y=f(2x)的反函数为Y二f(2x),则Y=f!(16)为()A)-B)—C)8D)168166、已知。为实数,且Ovd

7、数x、y,f(x+y)=f(x)f(y)总成立，且存在x严七，使得/(和工/U2)，求函数f(x)的值域。四、解析式问题(换元法，解方程组，待定系数法，递推法，区间转移法,例5.已知f(l+sinx)=2+sinx+cos2x,求f(x)例6、设对满足xH0,xH1的所有实数x,函数f(x)满足/(Q+/化二1]=1+乳，求f(x)的解析式。Ix丿小结：通过解方程组的方法可求表达式。怎样实现由两个变量向一个变量的转化是解题关键。通常，给某些变量适当赋值，使之在关系中“消失”，进而保留一个变量，是实现这种转化的重要策略。例7•已知f(x

8、)是多项式函数，且f(x+l)+f(x-l)=2x2-4x,求f(x)・小结：如果抽象函数的类型是确定的，则可用待定系数法来解答有关抽象函数的问题。例&是否存在这样的函数f(x),使下列三个条件：①f(n)>0,neN;