随机数学作业(答案)全部

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1、作业1(随机过程的基本概念〉I、对于给定的随机过程｛X(t),teT｝及实数x,定义随机过程[O,X(/)>x请将｛"/),疋T｝的均值函数和相关函数用｛X(/),疋T｝的一维和二维分布函数表示。解:E(Y(t))=P(X(t)

2、关函数的定义可得Rz($,/)=0}是参数为CT?的Wiener过程，求下列过程的协方差函数:(1){W(/)+Az,r>0},其中A为常数；(2){W(f)+XmO},其中XUN(O,1),且与{W(tt>0}相互独立；(3){aW(丄),宀0},其中a为正常数；cr(4){rW(-),r>0}t提示：Wiener过程就是指Brown运动。(1)令z(r)=W(r)+Ar,r>0,由定义求得E(Z(/))=AtCz(s,t)=cov(Z(5),Z(r))=(代入Z(t)的形式)=/min{s,t}具体在求的时候，可以先假设S

3、然后再求(下同)。(2)令za)=wa)+x/,/no,由定义求得£(Z(O)=0=cov(Z(5),Z(r))=弋入Z(t)的形式)=0tE(Z(f))=OCz($,f)=cov(Z(s),Z(/))=(彳弋入Z(t)的形式)=(j2mints,t}4、设随机过程{X(r),fGT},其中X(r)=Xcos(M),rw/?,且w为常数，x服从正态分布，EX=O,DX

4、=1,求过程的一维分布密度和协方差函数。提示：容易证明，x(t)n^(o,cos2(6x)),此即过程的一维分布。由1】维正态随机变量的性质，Vr,,r2eT,(%(/,),x(r2))服从二维正态分布。协方差阵等等也容易求。/2、5、设Z(t)=X+Yt,teR，已知二维随机变量(X,Y)的协防差矩阵为°P?，求Z(/)VP巧丿的协方差函数。提示：Cz(rpr2)=D(X)4-t{t2D(Y)+1{cov(r,X)+r2cov(y,X)=

5、p0服从［0,2龙］上的均匀分布，求RXY(trt2)0提示：RXY(4,&)=一ABcos(69(/2—G—0)27、设X(t)=X()+Yt,te[a9b]fX()与丫独立同分布，都服从N(O,1)的随机变量，证明｛%(/),reT｝为二阶矩过程，也是正态过程。(易证，从略)8、在独立重复试验中，若每次试验时事件A发生的概率都为p(O

6、m,p),得证。作业2(Poisson过程)1、设｛W),^>0｝是强度为2的Poisson过程，令Y(t)=N(t+L)-N(t),其中L>0为常数，求｛/(/),/>0｝的一维分布，均值函数和相关函数。提不：丫(0="(/+厶)—川(/)〜戶(2厶)，从而得到｛r(r),r>0｝的一维分布(写出分布列即可);由Y(t)=N(t+厶)一N(t)〜P(AL),易得E(K(Z))=AL相关函数的稍微复杂点，但方法就是求期望，没特别的地方。给出关键步骤，其他自己补齐。/?Y(s,r)=E(Y(s)Y(r))=(代入Y(t)形式展开)=Rn(s七厶,/+厶)一Rn(s+L,f)—

7、Rn(s

8、Z-5

9、),当

10、/_£$L一［才厶2,当£,2、设｛W)^>0｝是强度为Q的Poisson过程，证明对于任意的OWsVf,P(N(s)=k

11、N⑴=ri)=C；(-)A'(1-?严，“0丄…丿证明：P(N(s)=k

12、N(t)=n)_P(N(s)=k,N⑴"_P(N(t)=n)_P(N(s)-N(0)二