逻辑学导论第四章

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1、一、个体词、性质谓词、量词和公式二、关系谓词、重叠量化和二元关系的性质三、模型和赋值普遍有效式四、普遍有效式的判定问题五、谓词逻辑自然推理系统QN1第四章谓词逻辑命题逻辑和词项逻辑的局限性（1）它们都不能处理关系命题及其推理。（2）它们都不能处理量词内部含联结词结构的命题及其推理。所以，我们还需要另外的逻辑——谓词逻辑，它把一个命题拆分为个体词、谓词、量词，很多时候还要加上联结词；它能够在一个统一的框架内同时处理性质命题和关系命题及其推理。个体词个体词就是表示对象域中的个体的符号，包括个体变项和个体常项。其中，个体变项使用小写字母x，y，z，…等等，表示某个特定的范围内

2、的某个不确定的对象。个体常项使用小写字母a，b，c，…等等，表示某个特定范围内的某个确定的对象。这里所说的“某个特定的范围”，叫做“论域”，即由一定对象所组成的类或者集合。论域规定了个体变项的取值范围，因此也叫做“个体域”。论域一般是“全域”，即由世界上所有能够被思考、被谈论的事物组成的集合；有时也取特定个体域为论域。3一、个体词、性质谓词、量词和公式一元谓词和性质谓词符号，用大写字母F，G，R，S…等表示，若只把这些谓词符号用于单个的个体词，叫做“一元谓词符号”，经解释后，它们表示论域中个体的某个具体性质。4原子公式如果一个谓词符号后面跟着写在一对括号内的一个个体词（

3、个体常项或个体变项），我们就得到“原子公式”，例如F(a)，G(x)，它们分别表示“a是F”，“x是G”。在派生的意义上，原子公式有两个可能的真值：真或者假。5量词和量化公式量词包括全称量词和存在量词：xF(x)，读做“对于所有x而言，x是F”。xF(x)，读做“存在x使得x是F”。6原子公式和量化公式还可以用命题联结词连接起来，形成更复杂的公式：x(F(x)→G(x))xF(x)∧yH(y)7量词有其管辖的范围，简称“辖域”。如果一个量词后面有括号，则处于括号内的公式构成该量词的辖域；如果量词后面无括号，则量词后面最短的公式，构成该量词的辖域。一个变项的

4、某一次出现，如果处于量词x或x的辖域之内的，或作为与该量词一起出现的变项（指导变项），则称该变项的这一次出现是“约束出现”，否则叫做“自由出现”。8一个变项，如果在一个公式中有约束出现，则称它是“约束变项”；如果在一个公式中有自由出现，则称它是“自由变项”。因此，一个体变项在一个公式中可以既是约束变项又是自由变项。一个含有至少一个自由变项的公式，叫做“开公式”。开公式的意义不确定，没有确定的真假。一个不含任何自由变项的公式，叫做“闭公式”。在给定论域及其解释后，闭公式有确定的意义，也有确定的真假。9自然语言中性质命题的符号化在论域为全域时，六种直言命题可以如下方式符

5、号化：（1）全称的直言命题应符号化为一个全称蕴涵式。SAP：x(S(x)→P(x))SEP：x(S(x)→P(x))（2）特称的直言命题应符号化为存在合取式。SIP：x(S(x)∧P(x))SOP：x(S(x)∧P(x))（3）单称的直言命题应符号化为原子公式。“《春江花月夜》是一支中国古代名曲”可以符号化为：F(a)“周作人不是一位具有民族气节的人”可以符号化为：F(b)10关系命题包括三个要素：个体词、关系谓词和量词。从形式上看，关系谓词与性质谓词没有实质性区别，只不过后者涉及一个个体，而前者涉及两个以上的个体。发生在两个对象之间的关系叫做“二元关系”

6、，发生在三个对象之间的关系叫做“三元关系”，依此类推，发生在n个对象之间的关系叫做“n元关系”。11二、关系谓词、重叠量化和二元关系的性质一阶语言（Ⅰ）初始符号（i）个体变项：x，y，z，…（ii）个体常项：a，b，c，…（iii）谓词符号：F，G，R，S，…（iv）量词：全称量词，存在量词（v）联结词：，∧，∨，，（vi）辅足性符号：逗号，，左括号（，右括号）。12（Ⅱ）形成规则（i）一个谓词符号F，后面跟有写在一对括号内、并用逗点适当分开的n个个体词（n≥1），是原子公式。（ii）如果A是公式，则A是公式。（iii）如果A和B都是公式，则A∧B，A∨B，

7、AB，AB是公式。（iv）如果A是公式，则xA，xA是公式。（v）只有按以上方式形成的符号串是公式。13重叠的量词和重叠的量化式“重叠量词”指在一个量词的辖域内还有另外的量词。包含重叠量词的公式就叫做“重叠量化式”。一阶语言中允许重复约束和空约束。14自然语言中关系命题的符号化例如，下面的关系命题：（1）牛郎不爱有些爱织女的男人。（2）织女爱每一个爱牛郎的人。（3）有的投票人赞成所有的候选人。分别可以符号化为：（1）x(M(x)∧L(x,a)∧L(b,x))（2）x(P(x)∧L(x,b)L(a,x))（3）x(T