采样过程及数学描述

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1、采样过程及数学描述将连续信号转换为脉冲信号或数字信号的过稈称为采样。信号的采样过程可用一个周期性闭合的采样开关表示，该采样开关每隔T秒闭合一次，每次闭合时间为J且厂远小于T。T称为采样周期，单位为秒⑸；实际系统中，采样开关多为电子开关。现在以下面的例子来说明信号的采样过程。图1(a)所示连续信号经过图1(b)所示采样开关的釆样后，得到图1(c)所示采样信号。采样器好像一个幅值调制器，务⑴是调幅器的载波。它是以T为周期的单位理想脉冲序列，爲⑴的数学表达式为：幵=一00当载波务⑴被输入连续信号e(t)调幅后，其输出信号为£心)。调制信号e(t)决定才⑴的

2、幅值，载波信号务⑴决定采样时刻，其调制过程可表示为：8et)=e(t)8T(t)=e(t)工5(『一nT)n=-oo通常在控制系统中，认为tvO时信号e(t)=0,所以008et)=-nT)=工£(订"0-nT)h=0n=0对上式进行拉氏变换，得:L[et)]£(s)=左(皿)严兄=0F($)还可以用另一种形式表达，由于单位脉冲序列为周期函数，因此可以展开成傅里叶级数。8CO工5(r-M)二工c”叫?i=-oon=-

3、）宀％=yL_旳严s=-由上式得：100E（$）二〒丫齢-丿呷）/H=0由上式可见F（s）是s的周期函数。如果耳是E（s）的极点，则⑴一〃也）都是F（$）的极点。这就是说f（$）有无穷多的极点。采样定理1.采样定理的提出如何从采样信号中恢复原连续信号，以及在什么条件下才可以无失真地完成这种恢复作用。从这两点问题岀发，人们提岀了采样定理。采样定理在通信系统、信息传输理论方面占有十分重要的地位，许多近代通信方式都以此定理作为理论基础。采样定理主要分为时域采样定理和频域采样定理，下面从这两个方面做具体的解释。2.时域采样定理吋域采样定理说明：一个频谱受限的

4、信号f（t）,如果频谱只占据一的范围，则信号f（t）可以用等间隔的抽样值唯一表示。而抽样间隔必须不大于12九，或者说，最低采样频率为2九.时域采样定理的证明：假定信号f（t）的频谱F（w）限制在一心~+叫范围内，若以间隔人（或者ws=——重复频率兀)对f(t)进行采样，采样后信号力⑴的频谱丘(胁是F(w)以呎为周期重复。如果采样过程满足式a=⑴,则E3)才不会产生频谱混叠。这样采样信号犬⑴保留了原有连续信号f(t)的全部信息，完全可以用£(')唯一的表示f(t),或者说，完全可以由/⑴恢复出f(t)。对于采样定理，可以从物理概念上做如下解释。由于一个

5、频带受限的信号波形绝不可能在很短的时间内产生独立的，实质的变化，它的最高变化速度受到最好频率分量叫“的限制因此为了保留这一频率分量的全部信息，一个周期的时间间隔内至少采样两次。在满足采样定理的条件下，为了从频谱禺(“)中无失真的选出F(w),可以用如下的矩形函数H(w)与血(讷相乘，既F(w)=Fs(w)H(w)其中Ts"

6、<叱”H(iv)=0>wmx.ni3•频域采样定理根据时域与频域的对称性，可以由时域采样定理直接推论出频域采样定理。频域采样定理的内容是：若信号f(t)是时间受限信号，它集屮在-：〜+匚的时间范围内，若在频域中以不大于丄的频率I'

7、可隔对f(t)的频谱F(w)进行采样，则采样后的频谱片(w)可以唯一的表示原信号。从物理概念上不难理解，因为在频域中対F(w)进行抽样，等效于f(t)在时域中重复形成周期信号/(f)。只要采样间隔不大于丄，则在吋域波形不会产生混叠，用矩形脉冲作选通信号从周期信号広(0中选出单个脉冲就可以无失真地恢复出原信号f(t)o