高一数学集合与函数的概念

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1、章末归纳整合知识网络1．正确理解集合的概念必须掌握构成集合的两个必要条件：研究对象是具体的；其属性是确定的．2．在判断给定对象能否构成集合时，特别要注意它的“确定性”，在表示一个集合时，要特别注意它的“互异性”、“无序性”．3．在集合运算中必须注意组成集合的元素应具备的性质．要点归纳4．对由条件给出的集合要明白它所表示的意义，即元素指什么，是什么范围．用集合表示不等式(组)的解集时，要注意分辨是交集还是并集，结合数轴或Venn图的直观性帮助判断．空集是任何集合的子集，但因为不好用Venn图表示，容易被忽视

2、．如在关系式B⊆A中，易漏掉B＝∅的情况．5．若集合中的元素是用坐标形式表示的，要注意满足条件的点构成的图形是什么，用数形结合法解之．6．若集合中含有参数，必须对参数进行分类讨论，讨论时既不能重复又不能遗漏．7．函数与映射的联系与差异：映射的原象集和象集可以是数集也可以是其他集合，函数的定义域和值域是非空的数集．映射是函数的推广，函数是映射的特例．8．相同函数的判定方法：(1)定义域相同；(2)对应法则相同(两者必须同时具备)．但是由于值域是由定义域和对应法则完全确定的，因此，当定义域、对应法则、值域三者

3、中有一个不相同时，就可以判定不是同一个函数．9．函数的定义域的求法：列出使函数有意义的自变量的不等关系式，求解即可求得函数的定义域．常涉及到的依据为：(1)分母不为0；(2)偶次根式中被开方数不小于0；(3)对数的真数大于0，底数大于0且不等于1；(4)零指数幂的底数不等于0；(5)实际问题要考虑实际意义等．10．函数值域的求法：(1)观察法；(2)配方法(二次或四次)；(3)判别式法；(4)换元法；(5)函数的单调性法．11．函数的解析式的求法：(1)定义法；(2)换元法；(3)待定系数法；(4)配凑法

4、；(5)消去法；(6)特殊值法．12．单调性的判定方法：(1)设x1，x2是所研究区间内任意两个自变量，且x1

5、合的重要属性，在解决集合问题时具有非常重要的作用，尤其是互异性，在解题中常被忽略从而导致解题出错．【例1】已知集合A＝{a＋2，(a＋1)2，a2＋3a＋3}，若1∈A，求实数a的值．解：若a＋2＝1，则a＝－1，所以A＝{1,0,1}，与集合中元素的互异性矛盾，应舍去；要点整合若(a＋1)2＝1，则a＝0或a＝－2.当a＝0时，A＝{2,1,3}，满足题意，当a＝－2时，A＝{0,1,1}，与集合中元素的互异性矛盾，舍去；若a2＋3a＋3＝1，则a＝－1(舍去)或a＝－2(舍去)．综上所述，a＝0.二、

6、集合的关系及运算集合的运算有交(∩)、并(∪)、补(∁UA)这三种常见的运算，它是本章核心内容之一．在进行集合的交集、并集、补集运算时，往往由于运算能力差或考虑不全面而极易出错，此时，数轴分析法(或Venn图)是个好帮手，能将复杂问题直观化，是数形结合思想具体应用之一．在具体应用时要注意端点值是否适合题意，以免增解或漏解．【例2】设全集U＝R，集合A＝{x

7、－1

8、y＝x＋1，x∈A}，求∁UB，A∩B，A∪(∁UB)．解：∵－1

9、0

10、UB＝{y

11、y≤0或y≥5}．A∩B＝(0,4)．A∪(∁UB)＝(－∞，4)∪[5，＋∞)．三、函数的性质及应用研究函数往往从定义域、值域、单调性、奇偶性、对称性入手，分析函数的图象及其变化趋势，从近几年的高考形式来看，对函数性质的考查体现了“小”、“巧”、“活”的特征，做题时应注重上述性质知识间的融合．(1)判断函数f(x)的奇偶性；(2)判断函数f(x)在(1，＋∞)上的单调性，并用定义证明你的结论；(3)若f(a)>2，求实数a的取值范围．因为11，x1

12、x2－1>0，所以f(x1)－f(x2)<0，即f(x1)0，即f(x1)>f(x2)．所以f(x)在(0,1)上是减函数．由f(x)在(1，＋∞)上是增函数，在(0,1)上是减函数，且f(1)＝2知，当a∈(0,1)时，f(a)>2＝f(1)成立；当a∈(1，＋∞)时，f(a)>2＝f(1)成立；而当a<0时