信号理论讲稿

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1、第一章信号集及其映射§1.1引言信号理论研究的是在信号空间中信号的分析与综合以及系统的分析与综合问题。在这里，信号不再被看作函数，而是被看作信号空间中的一个点。在研究信号空间之前，我们先把信号看作信号集中的一个元素，以作为把信号看作信号空间中点的概念过渡。1.集合定义1.1：具有某种性质的具体或抽象事物的全体称为集合。一般地，集合用大写字母如A、B、C、X、Y表示。集合中的事物称为集合的元素，用小写字母如a、b、c、x表示。集合可以用两种方式來表示，分别称为列举法和描述法。列举法是指直接将集合的所有元素列出来的方式，如A=｛a,b,c,

2、d｝。描述法是将集合元素的共同性质写岀來的方式，如8=躯仪是整数｝。如果某个事物x是一个集合A的元素，称x属于集合A,记作xeAo如果元素y不是集合A的元素，称y不属于集合A,记作A。如果集合A屮的每一个元素都是集合B屮的元素,则称集合A是集合B的子集，称B包含A或A包含于B,记作B^A或力匸3。如果BrA且AqB,则称A与B相等，记作A=B。2.论域定义1.2：所讨论的范围内所有事物的全体称为论域。从论域的概念出发，我们可以给集合下另一个定义，定义1.3：论域X屮的部分或全部元素的全体称为集合。由论域屮全部元素组成的集合称为全集，用Q

3、表示；不含任何元素的集合称为空集，用0表示。论域中任何集合都是论域的子集。3.信号集定义1・4：由具有某种性质的信号组成集合，或所有信号论域的子集称为信号集。例如，所有因果信号组成的集合，S={x

4、x(/)=0,r<0}期信号集(1.1)(1.2)(1.3)(1-4)(1.5)(1.6)§1.2常用信号集1.矩形信号集矩形信号集可表示为Sr=

5、x

6、x(z)=An(^^),/?,A,r>0式中，[1,

7、r

8、

9、x(0=Re[严疋m+刃],a^feR式中/分别称为正弦信号的

10、幅度、相位和频率。3.对称信号集对称信号集分为奇对称信号集S〃d和偶对称信号集S。,，分别表示为sod={x

11、%(/)二-x(-r),-oo

12、X(t)=兀(T),-oo

13、x(r)=x(r+T)}5•幅度有界信号集幅度的瞬吋值总不大于某个正实数的信号称为幅度有界信号，所有幅度不大于K的有界信号的集合表示为Sm(K)={x\x(t)0}(1.7)6.能量有限信号集若信号的能量为有限的数值,则称其为能量有限信号。能量有限信号集定义为OOS°(K)

14、={x

15、J(1.8)能量有限信号又称平方可积信号。7.时限信号集时限信号集是指在区间-TM5T之外信号为零的所有信号的集合，其数学表达式为Sd(T)={xx(t)=09当

16、/

17、〉耐}(1.9)8・带限信号集它由所有信号频谱在区间-B

18、X(/)二匸尢(2-j2江ft(1.10)9.时域离散信号集所有采样周期为T的时域离散信号的集合表示为(l.H)x(z)=x(nr)=x(/?)9t=nr,Zfx无定义，t^nr§1.3信号集的运算信号集的运算是指由若干已知信号集，通过运算得到新的信号集。集合的

19、基本运算有：交、并、差和补四种。定义1.5：两个集合A和B的交、并和差仍是一个集合，分别称为集合A与B的交集、并集和差集，记作AcB、AuB和A—B。分别定义如下：AnB={%

20、xgA且兀wB(1.12)AuB={xxe力或xwfi}(1.13)A-B={xxeA且兀电B}(1.14)定义1.6：集合A的补集定义为全集与A的差集，记作即AC=Q-Ao在研究集合（包括信号集）时，通常釆用“文氏图”来形象表示集合间的运算。图1.1给出了集合的交、并、差运算的文氏图。(a)AcB(b)AuB(c)A-B图1.1集合运算的文氏图表示r>0

21、r<0例1.1已知信号集为S（/={x

22、x（O=xn（r）(1.15)试求S=S“cS〃,(10)。解：由式（1.15）可知

23、xn（r）

24、

25、〃=1,2,…,10}。例1.2试求时限信号集与带限信号集的交集。解：由于一个非零信号不可能既是吋限的又是带限的，因而S〃（门cSJB）={x

26、x⑴三0}§1.4信号集的划分与等价关系为便于常握一个信号集，常常需要把信号集划分成一些互不相交的子集，并分别对子集中的信号进行研究。从数学上讲，把集合S划分为子集S

27、、S2、…可以表示为(L16)例如，我们可以把信号集按连续性分为时域

28、连续信号集和时域离散信号集，按随机性分为随机信号集与确定信号集，按周期性分为周期信号集和非周期信号集（在研究信号的傅里叶变换时,我们就是先研究周期信号的傅里叶级数表示，然后再研究非周期信号的傅里叶变换的）。