用消元法解下列方程组的过程

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1、分析:用消元法解下列方程组的过程.引例:求解线性方程组§12.6.1矩阵的初等变换本章先讨论矩阵的初等变换,建立矩阵的秩的概念,并提出求秩的有效方法.再利用矩阵的秩反过来研究齐次线性方程组有非零解的充分必要条件和非齐次线性方程组有解的充分必要条件,并介绍用初等变换解线性方程组的方法.内容丰富,有一定难度.一、消元法解线性方程组解:①②③2②③③2①④3①②2③+5②④–3②③2④③④用“回代”的方法求出解.于是得解:其中x3可以任意取值.或令x3=c,方程组的解可记作:1.上述解方程组的方法称为消元法．2.始终把方程组看作一个整体变形,用到如下三种

2、变换:(2)其中c为任意常数.或归纳以上过程:(3)一个方程加上另一个方程的k倍:(2)以不等于0的数k乘某个方程:(1)交换方程次序:i与j相互替换;以ik替换i;以i+kj替换i.由于三种变换都是可逆的,所以变换前的方程组与变换后的方程组是同解的.故这三种变换是同解变换.3.上述三种变换都是可逆的.因为在上述变换过程中,未知量并未参与本质性运算,仅仅只对方程组的系数和常数进行运算.若记则对方程组的变换完全可以转换为对矩阵B(方程组(1)的增广矩阵)的变换.二、矩阵的初等变换定义1:下面三种变换称为矩阵的初等行变换:(1)对调两行(对调i,j两行,记作ri

3、rj);(2)以非零数k乘以某一行的所有元素(第i行乘k,记作rik);(3)把某一行所有元素的k倍加到另一行的对应元素上去(第j行的k倍加到第i行上去,记作ri+krj).同理可定义矩阵的初等列变换(所用记号是把“r”换成“c”)．定义2:矩阵的初等行变换与初等列变换统称为初等变换.初等变换的逆变换仍为初等变换且变换类型相同.rirj的逆变换为rjri;rik的逆变换为ri(1/k),或rik;ri+krj的逆变换为ri+(–k)rj,或ri–krj.定义3:如果矩阵A可经过有限次初等行变换变为矩阵B,则称矩阵A与B行等价.记作AB.(2)

4、如果矩阵A可经过有限次初等列变换变为矩阵B,则称矩阵A与B列等价.记作AB.(3)如果矩阵A可经过有限次初等变换变为矩阵B,则称矩阵A与B等价.记作AB.rc具有以下三条性质的关系称为等价关系:(1)自反性:AA;(2)对称性:若AB,则BA;(3)传递性:若AB,且BC,则AC.矩阵的(行、列)等价满足等价关系的定义.§12.6.2矩阵的秩定义:在mn矩阵A中任取k行k列(km,kn),位于这k行k列交叉处的k2个元素,不改变它们在A中所处的位置次序而得到的k阶行列式,被称为矩阵A的k阶子式.mn矩阵A的k阶子式共有定义:若在矩阵A中

5、有一个r阶子式D非零,且所有的r+1阶子式(如果存在的话)都为零,则称D为矩阵A的一个最高阶非零子式,称数r为矩阵A的秩,记作R(A).规定零矩阵的秩为零.mn矩阵A的秩R(A)是A中不等于零的子式的最高阶数.对于AT,显然有:R(AT)=R(A).解:在矩阵A中例1:求矩阵A=的秩.又由于矩阵A的3阶子式只有

6、A

7、,且

8、A

9、=0.所以,R(A)=2.例2:求矩阵A=的秩.解:因为计算A的3阶子式.所以,R(A)=2.定理:初等变换不改变矩阵的秩另解:用初等变换将A化为行阶梯形矩阵:显然,非零行的行数为2.所以,R(A)=2.特点(1).可划出一条阶梯线,线的下

10、方全为零;特点(2).每个台阶只有一行,台阶数即是非零行的行数,阶梯线上的第一个元素为非零元,即非零行的阶梯线上的第一个元素为非零元.行阶梯矩阵例3:求矩阵A=的秩.解:用初等行变换将A化为行阶梯矩阵:Ar1r4r2r4r32r1r43r1r33r2r44r2r4r3由阶梯形矩阵有三个非零行可知:R(A)=3.r1r2r32r2–r3r3–2r1r4–3r1例4:r3+5r2r4–3r2r22r3–2r4r4r3r2–r3r1–r3r1–r2注意:行最简形矩阵是由矩阵(方程组)唯一确定的,行阶梯形矩阵的非零行的行数也是由矩阵(方程组)唯一确定

11、的.行阶梯矩阵B6还称为行最简形矩阵,即非零行的第一个非零元为1,且这些非零元所在的列的其它元素都为零.行最简形矩阵再经过列初等列变换可化成标准形.B6c3c4c4+c1+c2对任何矩阵Amn,总可以经过有限次初等行变换把它们变为行阶梯形矩阵和行最简形矩阵.c5–4c1–3c2+3c3矩阵F称为矩阵B的标准形.特点:标准形F的左上角是一个单位矩阵,其余元素全为零.所有与矩阵A等价的矩阵组成的一个集合,称为一个等价类,标准形F是这个等价类中最简单的矩阵.任一个矩阵Amn总可经过初等变换化为标准形标准形由m,n,r三个数唯一确定,其中r就是行阶梯形矩阵中非零行的

12、行数.1.