湖南科技学院精品建设课程

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1、第二节二重积分的计算一、利用直角坐标系计算二重积分二、二重积分的变量代换法三、小结1.如果积分区域为：其中函数、在区间上连续.一、利用直角坐标系计算二重积分［X－型］应用计算“平行截面面积为已知的立体求体积”的方法,得2.如果积分区域为：［Y－型］3.如果积分区域为：［矩形区域］X型区域的特点：穿过区域且平行于y轴的直线与区域边界相交不多于两个交点.Y型区域的特点：穿过区域且平行于x轴的直线与区域边界相交不多于两个交点.若区域如图，在分割后的三个区域上分别使用积分公式则必须分割.注意：计算二重积分的关键是确定积分限及适当选择积分次序1.确定

2、积分限：(直角坐标系）后积先定限，总是点到点；限内画射线，总是线到线；先交为下限，后交为上限；区域少分块，积分计算简。确定积分次序的原则：区域尽量少分块，积分计算简单且易积出。3.积分步骤：（1）画出区域D的草图；（2）求出不同边界线的交点；（3）根据D及被积函数选择积分次序、确定积分上、下线；（4）计算二次定积分的值。解积分区域如图解积分区域如图解原式解解解二、二重积分的变量代换法二重积分化为累次积分，相对于用定义计算二重积分来说，其计算简化了许多；但并不能使所有的二重积分的计算都简单化.若适当地引入变给定的较复杂的积分区域变为简单区域，

3、如矩形域、圆域或部分圆域等.我们先来回顾一下定积分变量量代换，可以使被积函数简单化.更重要的是可将代换的要点.从定积分变量代换公式可以看出，它主要解决两个问题：一是积分限问题；二是被积函数的表达式问题，特别是的变换问题．对二重积分变量代换法也要解决与上述类似的两个问题．一是积分域的变换问题；二是被积函数表达式的变换问题．事实上，二重积分在极坐标系中的计算就是变量代换的一种特殊情况．1、利用极坐标换元计算二重积分（１）区域特征如图：（极点在D外）区域特征如图：（极点在D外）（２）区域特征如图：（极点在D的边界上）（３）区域特征如图：（极点在D

4、内）注：①极坐标系下区域的面积：③当区域D是圆形、环形、扇形或它们的部分区域或被积函数为②确定积分限及积分次序：“先对r，后对”。解解解解解解2.一般坐标代换定理：若函数在有界闭区域连续，函数组将平面区域一对一地变换为平面上的区域，并且函数组（1）在上对与存在连续偏导数，又，有其中，是平面的区域，例13.求由抛物线所围成的图形的面积．解:令则积分区域与的关系如图所示并由此得从而于是得例14.计算其中是所围成的区域．解：设则区域变为平面上的矩形区域如图所示）此时有所以1、二重积分在直角坐标下的计算公式（在积分中要正确选择积分次序）三、小结［Y

5、－型］［X－型］2、二重积分在极坐标下的计算公式（在积分中注意使用对称性）