高考数学一轮复习专题9.3空间几何体外接球和内切球练习（含解析）

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1、9.3空间几何外接球和内切球一．公式1.球的表面积：S＝4πR22.球的体积：V＝πR3二．概念1.空间几何体的外接球：球心到各个顶点距离相等且等于半径的球是几何体的内切球2.空间几何体的内切球：球心到各面距离相等且等于半径的球是几何体的内切球考向一长（正）方体外接球【例1】若一个长、宽、高分别为4，3，2的长方体的每个顶点都在球的表面上，则此球的表面积为__________．【答案】【解析】因为长方体的顶点都在球上，所以长方体为球的内接长方体，其体对角线为球的直径，所以球的表面积为，故填.【举一反三】1.已知一个正方体的所有顶点在一个球面上，若这个正方体的表面积为18，则

2、这个球的体积为________．【答案】π【解析】设正方体棱长为a，则6a2＝18，∴a＝.设球的半径为R，则由题意知2R＝＝3，∴R＝.故球的体积V＝πR3＝π×3＝π.2.如图是一个空间几何体的三视图，则该几何体的外接球的表面积是________.【答案】【解析】由几何体的三视图可得该几何体是直三棱柱，如图所示：其中，三角形是腰长为的直角三角形，侧面是边长为4的正方形，则该几何体的外接球的半径为.∴该几何体的外接球的表面积为.故答案为.考向二棱柱的外接球【例2】直三棱柱ABC-A'B'C'的所有棱长均为23，则此三棱柱的外接球的表面积为（）A．12πB．16πC．28π

3、D．36π【答案】C【解析】由直三棱柱的底面边长为23，得底面所在平面截其外接球所成的圆O的半径r=2，又由直三棱柱的侧棱长为23，则球心到圆O的球心距d=3，根据球心距，截面圆半径，球半径构成直角三角形，满足勾股定理，我们易得球半径R满足：R2＝r2+d2=7，∴外接球的表面积S＝4πR2=28π．故选：C．【举一反三】1.设直三棱柱ABC-A1B1C1的所有顶点都在一个球面上，且球的表面积是40π，AB=AC=AA1，∠BAC=120°，则此直三棱柱的高是________.【答案】【解析】设三角形BAC边长为，则三角形BAC外接圆半径为，因为所以即直三棱柱的高是.2.直

4、三棱柱ABC-A1B1C1中，已知AB⊥BC，AB=3，BC=4，AA1=5，若三棱柱的所有顶点都在同一球面上，则该球的表面积为__________．【答案】【解析】ABC-A1B1C1是直三棱柱，∴A1A⊥AC，又三棱柱的所有顶点都在同一球面上，A1C是球的直径，∴R=A1C2；∵AB⊥BC，∴AC=32+42=5，∴A1C2=52+52=50；故该球的表面积为S=4πR2=4πA1C22=πA1C2=50π考向三棱锥的外接球类型一：正棱锥型【例3-1】已知正四棱锥的各顶点都在同一球面上，底面正方形的边长为，若该正四棱锥的体积为2，则此球的体积为（）A.B.C.D.【答案

5、】C【解析】如图所示，设底面正方形的中心为，正四棱锥的外接球的球心为底面正方形的边长为正四棱锥的体积为，解得在中，由勾股定理可得：即，解得故选【举一反三】1.已知正四棱锥的各条棱长均为2，则其外接球的表面积为()A.B.C.D.【答案】C【解析】设点P在底面ABCD的投影点为,则平面ABCD,故而底面ABCD所在截面圆的半径,故该截面圆即为过球心的圆，则球的半径R=,故外接球的表面积为故选C.2．如图，正三棱锥的四个顶点均在球的球面上，底面正三角形的边长为3，侧棱长为，则球的表面积是　　A．B．C．D．【答案】C【解析】如图，设，，，，又，，在中，，得：，，，故选：．类型二

6、：侧棱垂直底面型【例3-2】在三棱锥中，，，面，且在三角形中，有（其中为的内角所对的边），则该三棱锥外接球的表面积为（）A.B.C.D.【答案】A【解析】设该三棱锥外接球的半径为.在三角形中，（其中为的内角所对的边）.∴∴根据正弦定理可得，即.∵∴∵∴∴由正弦定理，，得三角形的外接圆的半径为.∵面∴∴∴该三棱锥外接球的表面积为故选A.【举一反三】1.已知几何体的三视图如图所示，则该几何体的外接球的表面积为（）A.214π3B.127π3C.115π3D.124π3【答案】D【解析】根据几何体的三视图可知，该几何体为三棱锥A-BCD其中AD=DC=2，BD=4且AD⊥底面AB

7、C，∠BDC=120°根据余弦定理可知：BC2-BD2+DC2-2BD∙DC∙cos120°=42+22-2×4×2×-12=28可知BC=27根据正弦定理可知∆BCD外接圆直径2r=BCsin∠BDC=27sin120°=473∴r=2213，如图，设三棱锥外接球的半径为R，球心为O，过球心O向AD作垂线，则垂足H为AD的中点DH=1，在Rt∆ODH中，R2=OD2=22132+1=313∴外接球的表面积S=4πR3=4π×313=124π3故选D2.已知三棱锥中，平面，且，.则该三棱锥的外接球的体积为()A.B