高考数学一轮复习专题8.2基本不等式练习（含解析）

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1、8.2基本不等式【套路秘籍】---千里之行始于足下一.基本不等式：≤(1)基本不等式成立的条件：a≥0，b≥0.(2)等号成立的条件：当且仅当a＝b时取等号.(3)其中称为正数a，b的算术平均数，称为正数，b的几何平均数.二．几个重要的不等式(1)a2＋b2≥2ab(a，b∈R)．(2)＋≥2(a，b同号)．(3)ab≤2(a，b∈R)．(4)≥2(a，b∈R)．以上不等式等号成立的条件均为a＝b.三．算术平均数与几何平均数设a>0，b>0，则a，b的算术平均数为，几何平均数为，基本不等式可叙述为两个正数的算术平均数不小

2、于它们的几何平均数．四．利用基本不等式求最值问题已知x>0，y>0，则(1)如果积xy是定值p，那么当且仅当x＝y时，x＋y有最小值2.(简记：积定和最小)(2)如果和x＋y是定值p，那么当且仅当x＝y时，xy有最大值.(简记：和定积最大)【修炼套路】---为君聊赋《今日诗》，努力请从今日始考向一直接法【例1】（1）若x＞0，则x＋的最小值是(　　)A．2B．4C.D．2（2）.设x>0，y>0，且x＋y＝18，则xy的最大值为(　　)A.80B.77C.81D.82【答案】（1）D（2）C【解析】（1）由基本不等式可得

3、x＋≥2＝2，当且仅当x＝即x＝时取等号，故最小值是2.故选D.（2）xy≤＝81，当且仅当x＝y＝9时取等号.答案　C【套路总结】利用基本不等式求最值要牢记三个关键词：一正、二定、三相等，即①一正：各项必须为正；②二定：各项之和或各项之积为定值；③三相等：必须验证取等号时条件是否具备【举一反三】1.已知0＜x＜4，则x(4－x)取得最大值时x的值为()A．0B．2C．4D.6【答案】C【解析】因为0＜x＜4，所以4－x＞0，所以x(4－x)≤＝4，当且仅当x＝4－x，即x＝2时取等号．故选C2.若x>0，y>0，且x＋

4、y＝18，则的最大值为(　　)A.9B.18C.36D.81【答案】　A【解析】　因为x＋y＝18，所以≤＝9，当且仅当x＝y＝9时，等号成立.3.若x<0，则x＋(　　)A.有最小值，且最小值为2　B.有最大值，且最大值为2C.有最小值，且最小值为－2　D.有最大值，且最大值为－2【答案】　D【解析】　因为x<0，所以－x>0，－x＋≥2＝2，当且仅当x＝－1时，等号成立，所以x＋≤－2.考向二配凑法【例2-1】（1）设0

5、＋的最大值为______.【答案】　(1)　(2)1【解析】　(1)y＝4x(3－2x)＝2[2x(3－2x)]≤2＝，当且仅当2x＝3－2x，即x＝时，等号成立.∵∈，∴函数y＝4x(3－2x)的最大值为.(2)因为x<，所以5－4x>0，则f(x)＝4x－2＋＝－＋3≤－2＋3＝－2＋3＝1.当且仅当5－4x＝，即x＝1时，等号成立.故f(x)＝4x－2＋的最大值为1.【例2-2】函数y＝(x>1)的最小值为________．【答案】　2＋2【解析】　∵x>1，∴x－1>0，∴y＝＝＝＝(x－1)＋＋2≥2＋2.当且

6、仅当x－1＝，即x＝＋1时，等号成立．【套路总结】此类问题一般不能直接使用基本不等式，要从整体上把握进而运用基本不等式，对不满足使用基本不等式条件的可通过“变形”来转换，常见的变形技巧有：拆项、凑项、凑系数等．【举一反三】1.已知02)在x＝a处取最小值，则a等于(　　)A.1＋B.1＋C.3D.4【答案】　C【解析】　

7、当x>2时，x－2>0，f(x)＝(x－2)＋＋2≥2＋2＝4，当且仅当x－2＝(x>2)，即x＝3时取等号，即当f(x)取得最小值时，即a＝3.3.函数y＝的最大值为________．【答案】　【解析】　y＝，当x－1＝0时，y＝0，当x－1>0时，y＝≤＝，∴当且仅当＝等号成立，即x＝5时，ymax＝.考向三常数替代法【例3】（1）已知x>0，y>0，且＋＝1，则x＋y的最小值为________．(2)已知正数x，y满足x＋y＝1，则＋的最小值为________．【答案】（1）3＋2（2）【解析】（1）由x>0，y>

8、0，得(x＋y)＝3＋＋≥3＋2，当且仅当y＝x时等号成立，又＋＝1，则x＋y≥3＋2，所以x＋y的最小值为3＋2.（2）正数x，y满足(x＋2)＋(y＋1)＝4，∴＋＝[(x＋2)＋(y＋1)]＝≥＝，当且仅当x＝2y＝时，min＝.【套路总结】在求解含有两个变量的代数式的最值问题时，通常采用“变量替换”或“常数1