2007级信息安全数学基础试题(卷）~B~答案解析

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1、姓名学号学院专业座位号(密封线内不答题)……………………………………………………密………………………………………………封………………………………………线……………………………………线………………………………………_____________________…诚信应考,考试作弊将带来严重后果！华南理工大学期末考试《信息安全数学基础》试卷B－答案注意事项：1.考前请将密封线内填写清楚；2.所有答案请直接答在试卷上；3．考试形式：闭卷；4.本试卷共四大题，满分100分，考试时间120分钟。题号一二三四总分得分评卷人

2、一．选择题：（每题2分，共20分）1．(1)。2．(4)。3．(3)。4．(2)。5．(2)。6．(3)。7．(2)。8．(4)。9．(4)。10．(3)二．填空题：（每题2分，共20分）1．设m是正整数，a是满足a

3、m的整数，则一次同余式：axºb(modm)有解的充分必要条件是(a,m)

4、b。当同余式axºb(modm)有解时，其解数为d＝(a,m)。2．设m是正整数，则m个数0,1,2,…,m－1中与m互素的整数的个数叫做m的欧拉(Euler)函数，记做j(m)。3．整数2t＋1和2t－1的最大公因数

5、(2t＋1，2t－1)＝1。4．设a,b是正整数，且有素因数分解，，则，。5．如果a对模m的指数是j(m)，则a叫做模m的原根。6．设m是一个正整数，a是满足(a,m)＝1的整数，则存在整数a¢，1≤a¢＜m，使得aa¢≡1(modm)。7．Wilson定理：设p是一个素数，则(p－1)!≡－1(modp)。8．(中国剩余定理)设m1,…,mk是k个两两互素的正整数，则对任意的整数b1,…,bk同余式组xºb1(modm1)…………xºbk(modmk)有唯一解。令m＝m1…mk，m＝miMi，i＝1,…,

6、k，则同余式组的解为：x≡M1¢M1b1＋…＋Mk¢Mkbk(modm)，其中Mi¢Mi≡1(modmi),i＝1,2,…,k。9．正整数n有标准因数分解式为，则n的欧拉函数。10．设G和G¢是两个群，f是G到G¢的一个映射。如果对任意的a,b∈G，都有f(ab)=f(a)f(b)，那么，f叫做G到G¢的一个同态。三．证明题（写出详细证明过程）：（共30分）1．证明：形如4k+3的素数有无穷多个。（6分）证明分两步证明。先证形如4k＋3的正整数必含形如4k＋3的素因数。由于任一奇素数只能写成4n＋1或4n＋

7、3的形式，而(4n1＋1)(4n2＋1)＝16n1n2＋4n1＋4n2＋1＝4(4n1n2＋n1＋n2)＋1,所以把形如4n＋1的数相乘的积仍为4n＋1形式的数。因此，把形如4k＋3的整数分解成素数的乘积时，这些素因数不可能都是4n＋1的形式的素数，一定含有4n＋3形式的素数。其次，设N是任一正整数，并设p1,p2,…,ps是不超过N的形如4k＋3的所有素数。令q＝4p1p2…ps－1。显然，每个pi(i＝1,2,…,s)都不是q的素因数，否则将会导致pi

8、1，得到矛盾。如果q是素数，由于q＝4p1p2…p

9、s－1＝4(p1p2…ps－1)＋3，即q也是形如4k＋3的素数，并且显然q¹pi(i＝1,2,…,s)，从而q>N。即q是形如4k＋3的大于N的素数。如果q不是素数，由第一步证明知q含有形如4k＋3的素因数p，同样可证p¹pi(i＝1,2,…,s)，从而p>N。即p是形如4k＋3的大于N的素数。由于N是任意的正整数，因此证明了形如4k＋3的素数有无穷多个。2．．设a,b是两个整数，其中b>0。则存在唯一一对整数q,r使得a=bq+r，0£r

10、,0,b,2b,3b,…序列的各项把实数轴划分成长度为b的区间，a一定落在其中的一个区间中。因此，存在一个整数q使得qb£a<(q+1)b，即0£a-bq

11、整数e和d满足(e,j(n))＝1，edº1(modj(n))，1