心理与教育学统计--回归分析

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1、例：16名学生的高考数学（X）和统计学（Y）成绩如下表。某人高数80分，其统计成绩可能为多少？12345678910111213141516X748097817211096768687888783917364Y60637283679885617180937272716250表*高考数学成绩与统计学成绩回归分析第八章什么是回归分析一元线性回归方程的建立方程的检验方程的预测1什么是回归分析“回归”(regression)一词最早由高尔顿在研究身高和遗传问题时提出的。两种不同类型的变量关系：完全确定性关系不确定关系如s=vt；U=IR如身高和体重；智商与未来成

2、就；营养与寿命等共同特征：有密切关系，但不能由函数关系精确表达。1什么是回归分析由于变量不确定性的存在，因而不能用确定的数学表达式来表示变量之间的关系，这种不确定关系即相关关系。这种不确定关系使变量的取值带有一定的随机性、偶然性，但在大量的偶然性中蕴含着必然性的规律，可用统计的方法在大量的实践和观察中找到这种规律。这种统计规律称为回归关系，在统计中有关这种回归关系的计算理论与方法被称为回归分析。定义：研究变量与变量之间的关系，分析一些变量对某个变量的影响，并进行预测和控制的一种统计方法。目的：确定变量间共变关系的数学模型，分析某一个变量的变异在多大程度上

3、可由其他变量的变异解释和预测。1.1回归分析的意义1.2回归分析与相关分析的关系联系：求解、应用回归方程的前提是变量间存在相关关系；如果两变量间无关联，则求得的回归方程无效，更不能由一个变量估计或预测另一个变量；两个变量间相关程度越密切，则依一个变量预测另一个变量值时，结果越可靠。1.2回归分析与相关分析的关系区别相关分析研究的是变量间是否存在相互联系，及其相互关联的密切程度，可以用一个量数即相关系数来表示，此时，两个变量处于平等地位，存在相关关系并不一定存在因果关系；回归分析是研究变量间的因果关系，通过建立的回归方程，可依据自变量的已知值去估计或预测因

4、变量的取值。1.2回归分析与相关分析的关系区别相关分析研究两个变量的关系时，两个变量都是随机变量，每个变量的取值都是随机的；回归分析研究两个变量的关系时，因变量是随机变量，而自变量可以是随机变量，也可以是非随机的确定性变量，可以由实验者选择。1.2回归分析与相关分析的关系区别相关系数是双向对称的，即X对Y的相关和Y对X的相关是一样的；回归则不一样，把X作自变量、Y作因变量和把Y作自变量和X作因变量，回归方程是不一样的，即回归方程是不对称的。1.2回归分析与相关分析的关系区别联系r=0：无回归关系；内容相关回归变量关系双向单向因变量、自变量有无r=±1：预

5、测完全准确；r1：预测越准确；∶·∴··∷∵∷∶┇┋∷∶·············∶·∴··∷∵∷∶┇┋∷∶∴··∶····1.1.2回归分析的类别类别线性回归曲线回归（非线性回归）一元线性回归多元线性回归2一元线性回归建立回归方程；检验回归方程；预测因素分析2一元线性回归定义：一个自变量的线性回归。散布图与回归直线：12345678910111213141516X748097817211096768687888783917364Y60637283679885617180937272716250表8-1高考数学与心理统计成绩表回归直线：描述变量线

6、性关系的直线。X60708090100110Y1059075604530150••••••••••••••••回归直线（1）一元方程的通式定义：线性回归方程中自变量的系数。含义：当其他自变量不变，该自变量变化一个单位时，因变量变化的单位数。2.1回归方程与回归系数（2）回归系数截距（3）一元线性回归的两个方程以X为自变量，Y为因变量的方程以Y为自变量，X为因变量的方程2.2b和a的求解原理和方法理论：最小二乘法直观解释最小二乘法：使误差平方和最小。2.2.1原理2.2.2公式及其推导（1）方程一①某一点残值xy（X，Y）b1X公式推导b1=?代入②

7、各点的残值③各点残值的平方xy（X，Y）b1b2ab2=？得④分别求a、b的偏导数，并令其为0，则有由得得代入∵分子分母同理（2）方程二试建立由高考数学预测心理统计成绩的回归方程。表8-1高考数学与心理统计成绩表12345678910111213141516X748097817211096768687888783917364Y6063728367988561718093727271625012345678910111213141516X748097817211096768687888783917364Y606372836798856171809372

8、72716250X2Y2XY方程试建立Y对X的回归方程。表8-1高考数学与心理统