二次函数精彩试题及问题详解

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1、标准文档二次函数一、选择题1.(2016·湖北鄂州)如图,二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图像与x轴正半轴相交于A、B两点,与y轴相交于点C,对称轴为直线x=2,且OA=OC.则下列结论:①abc>0②9a+3b+c<0③c>-1④关于x的方程ax2+bx+c=0(a≠0)有一个根为-其中正确的结论个数有()A.1个B.2个C.3个D.4个【考点】二次函数图象与系数的关系,数形结合思想.【分析】①由抛物线开口方向得a<0,由抛物线的对称轴位置可得b>0,由抛物线与y轴的交点位置可得c<0,则可对①进行判断;②当x=3时,y=ax2+bx+c=9a+3b+c>0,则可对②进行判断;③【解

2、答】①解:∵抛物线开口向下,∴a<0,∵抛物线的对称轴在y轴的右侧,∴b>0,∵抛物线与y轴的交点在x轴下方,∴c<0,∴abc>0,∴①正确;②当x=3时,y=ax2+bx+c=9a+3b+c>0,∴②9a+3b+c<0错误;实用大全标准文档③∵C(0,c),OA=OC,∴A(﹣c,0),由图知,A在1的左边∴﹣c<1,即c>-1∴③正确;④把-代入方程ax2+bx+c=0(a≠0),得ac﹣b+1=0,把A(﹣c,0)代入y=ax2+bx+c得ac2﹣bc+c=0,即ac﹣b+1=0,∴关于x的方程ax2+bx+c=0(a≠0)有一个根为-.综上,正确的答案为:C.【点评】本题考查了二次函

3、数图象与系数的关系:对于二次函数y=ax2+bx+c(a≠0),二次项系数a决定抛物线的开口方向和大小:当a>0时,抛物线向上开口;当a<0时,抛物线向下开口;一次项系数b和二次项系数a共同决定对称轴的位置:当a与b同号时(即ab>0),对称轴在y轴左;当a与b异号时(即ab<0),对称轴在y轴右.(简称:左同右异);常数项c决定抛物线与y轴交点:抛物线与y轴交于(0,c);抛物线与x轴交点个数由△决定:△=b2﹣4ac>0时,抛物线与x轴有2个交点;△=b2﹣4ac=0时,抛物线与x轴有1个交点;△=b2﹣4ac<0时,抛物线与x轴没有交点.1.(2016·四川资阳)已知二次函数y=x2+b

4、x+c与x轴只有一个交点,且图象过A(x1,m)、B(x1+n,m)两点,则m、n的关系为(  )A.m=nB.m=nC.m=n2D.m=n2【考点】抛物线与x轴的交点.【分析】由“抛物线y=x2+bx+c与x轴只有一个交点”推知x=﹣时,y=0.且b2﹣4c=0,即b2=4c,其次,根据抛物线对称轴的定义知点A、B关于对称轴对称,故A(﹣﹣,m),B(﹣+,m);最后,根据二次函数图象上点的坐标特征即可得出结论.【解答】解:∵抛物线y=x2+bx+c与x轴只有一个交点,∴当x=﹣时,y=0.且b2﹣4c=0,即b2=4c.又∵点A(x1,m),B(x1+n,m),实用大全标准文档∴点A、B关

5、于直线x=﹣对称,∴A(﹣﹣,m),B(﹣+,m),将A点坐标代入抛物线解析式,得m=(﹣﹣)2+(﹣﹣)b+c,即m=﹣+c,∵b2=4c,∴m=n2,故选D.2.(2016·四川自贡)二次函数y=ax2+bx+c的图象如图,反比例函数y=与正比例函数y=bx在同一坐标系内的大致图象是(  )A.B.C.D.【考点】二次函数的性质;正比例函数的图象;反比例函数的图象.【分析】根据函数图象的开口方向,对称轴,可得a、b的值,根据a、b的值,可得相应的函数图象.【解答】解:由y=ax2+bx+c的图象开口向下,得a<0.由图象,得﹣>0.由不等式的性质,得b>0.a<0,y=图象位于二四象限,b

6、>0,y=bx图象位于一三象限,故选:C.【点评】本题考查了二次函数的性质,利用函数图象的开口方向,对称轴得出a、b的值是解题关键.实用大全标准文档3.(2016·四川成都·3分)二次函数y=2x2﹣3的图象是一条抛物线,下列关于该抛物线的说法,正确的是(  )A.抛物线开口向下B.抛物线经过点(2,3)C.抛物线的对称轴是直线x=1D.抛物线与x轴有两个交点【考点】二次函数的性质.【分析】根据二次函数的性质对A、C进行判断;根据二次函数图象上点的坐标特征对B进行判断;利用方程2x2﹣3=0解的情况对D进行判断.【解答】解:A、a=2,则抛物线y=2x2﹣3的开口向上,所以A选项错误;B、当x

7、=2时,y=2×4﹣3=5,则抛物线不经过点(2,3),所以B选项错误;C、抛物线的对称轴为直线x=0,所以C选项错误;D、当y=0时,2x2﹣3=0,此方程有两个不相等的实数解,所以D选项正确.故选D. 4.(2016·四川达州·3分)如图,已知二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象与x轴交于点A(﹣1,0),与y轴的交点B在(0,﹣2)和(0,﹣1)之间(不包括这两点),对称轴为直线x=

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