2020版高考数学复习第二章函数概念与基本初等函数Ⅰ2.3函数的奇偶性与周期性教案理（含解析）新人教A版

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1、§2.3　函数的奇偶性与周期性最新考纲考情考向分析1.结合具体函数，了解函数奇偶性的含义．2.会运用函数图象理解和研究函数的奇偶性．3.了解函数周期性、最小正周期的含义，会判断、应用简单函数的周期性.以理解函数的奇偶性、会用函数的奇偶性为主，常与函数的单调性、周期性交汇命题，加强函数与方程思想、转化与化归思想的应用意识，题型以选择、填空题为主，中等偏上难度.1．函数的奇偶性奇偶性定义图象特点奇函数设函数y＝f(x)的定义域为D，如果对D内的任意一个x，都有－x∈D，且f(－x)＝－f(x)，则这个函数叫做奇函数关于坐标原点对称偶函

2、数设函数y＝g(x)的定义域为D，如果对D内的任意一个x，都有－x∈D，且g(－x)＝g(x)，则这个函数叫做偶函数关于y轴对称2.周期性(1)周期函数：对于函数y＝f(x)，如果存在一个非零常数T，使得当x取定义域内的任何值时，都有f(x＋T)＝f(x)，那么就称函数y＝f(x)为周期函数，称T为这个函数的周期．(2)最小正周期：如果在周期函数f(x)的所有周期中存在一个最小的正数，那么这个最小正数就叫做f(x)的最小正周期．概念方法微思考1．如果已知函数f(x)，g(x)的奇偶性，那么函数f(x)±g(x)，f(x)·g(x)

3、的奇偶性有什么结论？提示　在函数f(x)，g(x)公共定义域内有：奇±奇＝奇，偶±偶＝偶，奇×奇＝偶，偶×偶＝偶，奇×偶＝奇．2．已知函数f(x)满足下列条件，你能得到什么结论？(1)f(x＋a)＝－f(x)(a≠0)．(2)f(x＋a)＝(a≠0)．(3)f(x＋a)＝f(x＋b)(a≠b)．提示　(1)T＝2

4、a

5、　(2)T＝2

6、a

7、　(3)T＝

8、a－b

9、题组一　思考辨析1．判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)函数y＝x2，x∈(0，＋∞)是偶函数．(　×　)(2)偶函数的图象不一定过原点，奇函数的图象一定

10、过原点．(　×　)(3)若函数y＝f(x＋a)是偶函数，则函数y＝f(x)关于直线x＝a对称．(　√　)题组二　教材改编2．已知函数f(x)是定义在R上的奇函数，且当x>0时，f(x)＝x(1＋x)，则f(－1)＝________.答案　－2解析　f(1)＝1×2＝2，又f(x)为奇函数，∴f(－1)＝－f(1)＝－2.3．设f(x)是定义在R上的周期为2的函数，当x∈[－1,1)时，f(x)＝则f＝______.答案　1解析　f＝f＝－4×2＋2＝1.4.设奇函数f(x)的定义域为[－5,5]，若当x∈[0,5]时，f(x)的图

11、象如图所示，则不等式f(x)<0的解集为________．答案　(－2,0)∪(2,5]解析　由图象可知，当00；当20.综上，f(x)<0的解集为(－2,0)∪(2,5]．题组三　易错自纠5．已知f(x)＝ax2＋bx是定义在[a－1,2a]上的偶函数，那么a＋b的值是(　　)A．－B.C.D．－答案　B解析　∵f(x)＝ax2＋bx是定义在[a－1,2a]上的偶函数，∴a－1＋2a＝0，∴a＝.又

12、f(－x)＝f(x)，∴b＝0，∴a＋b＝.6．已知定义在R上的奇函数f(x)满足f(x＋3)＝f(x)，且当x∈时，f(x)＝－x3，则f＝________.答案　解析　由f(x＋3)＝f(x)知函数f(x)的周期为3，又函数f(x)为奇函数，所以f＝f＝－f＝3＝.题型一　函数奇偶性的判断例1判断下列函数的奇偶性：(1)f(x)＝＋；(2)f(x)＝；(3)f(x)＝解　(1)由得x2＝36，解得x＝±6，即函数f(x)的定义域为{－6,6}，关于原点对称，∴f(x)＝＋＝0.∴f(－x)＝－f(x)且f(－x)＝f(x)，∴

13、函数f(x)既是奇函数又是偶函数．(2)由得定义域为(－1,0)∪(0,1)，关于原点对称．∴x－2<0，∴

14、x－2

15、－2＝－x，∴f(x)＝.又∵f(－x)＝＝＝－f(x)，∴函数f(x)为奇函数．(3)显然函数f(x)的定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)，关于原点对称．∵当x<0时，－x>0，则f(－x)＝－(－x)2－x＝－x2－x＝－f(x)；当x>0时，－x<0，则f(－x)＝(－x)2－x＝x2－x＝－f(x)；综上可知，对于定义域内的任意x，总有f(－x)＝－f(x)，∴函数f(x)为奇函数．思维升华判断函数的奇偶性

16、，其中包括两个必备条件：(1)定义域关于原点对称，这是函数具有奇偶性的必要不充分条件，所以首先考虑定义域；(2)判断f(x)与f(－x)是否具有等量关系．在判断奇偶性的运算中，可以转化为判断奇偶性的等价关系式f(x)＋f(－x)＝0(奇函数)或f(