2020版高考数学复习第七章不等式、推理与证明7.2均值不等式及其应用教案理（含解析）新人教A版

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1、§7.2　均值不等式及其应用最新考纲考情考向分析1.了解基本不等式的证明过程.2.会用基本不等式解决简单的最大(小)值问题.主要考查利用基本不等式求最值.常与函数、解析几何、不等式相结合考查，作为求最值的方法，常在函数、解析几何、不等式的解答题中考查，难度为中档.1.均值不等式：≤(1)均值不等式成立的条件：a>0，b>0.(2)等号成立的条件：当且仅当a＝b时取等号.2.几个重要的不等式(1)a2＋b2≥2ab(a，b∈R).(2)＋≥2(a，b同号).(3)ab≤2(a，b∈R).(4)≥2(a，b∈R).以上不等式等号成立的条件均为a＝b.3.算术平均数与几何

2、平均数设a>0，b>0，则a，b的算术平均值为，几何平均值为，均值不等式可叙述为两个正实数的算术平均值大于或等于它们的几何平均值.4.利用均值不等式求最值问题已知x>0，y>0，则(1)如果积xy是定值p，那么当且仅当x＝y时，x＋y有最小值2.(简记：积定和最小)(2)如果和x＋y是定值p，那么当且仅当x＝y时，xy有最大值.(简记：和定积最大)概念方法微思考1.若两个正数的和为定值，则这两个正数的积一定有最大值吗？提示　不一定.若这两个正数能相等，则这两个数的积一定有最大值；若这两个正数不相等，则这两个正数的积无最大值.2.函数y＝x＋的最小值是2吗？提示　不是

3、.因为函数y＝x＋的定义域是{x

4、x≠0}，当x<0时，y<0，所以函数y＝x＋无最小值.题组一　思考辨析1.判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)函数f(x)＝cosx＋，x∈的最小值等于4.(　×　)(2)“x>0且y>0”是“＋≥2”的充要条件.(　×　)(3)(a＋b)2≥4ab(a，b∈R).(　√　)(4)若a>0，则a3＋的最小值为2.(　×　)(5)不等式a2＋b2≥2ab与≥有相同的成立条件.(　×　)(6)两个正数的等差中项不小于它们的等比中项.(　√　)题组二　教材改编2.设x>0，y>0，且x＋y＝18，则xy的最大值为(　

5、　)A.80B.77C.81D.82答案　C解析　∵x>0，y>0，∴≥，即xy≤2＝81，当且仅当x＝y＝9时，(xy)max＝81.3.若把总长为20m的篱笆围成一个矩形场地，则矩形场地的最大面积是________m2.答案　25解析　设矩形的一边为xm，面积为ym2，则另一边为×(20－2x)＝(10－x)m，其中00”是“x＋≥2成立”的(　　)A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件答案　C解析　当x>0时

6、，x＋≥2＝2.因为x，同号，所以若x＋≥2，则x>0，>0，所以“x>0”是“x＋≥2成立”的充要条件，故选C.5.若函数f(x)＝x＋(x>2)在x＝a处取最小值，则a等于(　　)A.1＋B.1＋C.3D.4答案　C解析　当x>2时，x－2>0，f(x)＝(x－2)＋＋2≥2＋2＝4，当且仅当x－2＝(x>2)，即x＝3时取等号，即当f(x)取得最小值时，x＝3，即a＝3，故选C.6.若正数x，y满足3x＋y＝5xy，则4x＋3y的最小值是(　　)A.2B.3C.4D.5答案　D解析　由3x＋y＝5xy，得＝＋＝5，所以4x＋3y＝(4x＋3y)·＝≥(4＋9＋

7、2)＝5，当且仅当＝，即y＝2x时，“＝”成立，故4x＋3y的最小值为5.故选D.题型一　利用均值不等式求最值命题点1　配凑法例1　(1)已知01)的最小值为________.答案　2＋2解析　∵x>1，∴x－1>0，∴y＝＝＝＝(x－1)＋＋2≥2＋2.当且仅当x－1＝，即x＝＋1时，等号成立.命题点2　常数代换法例2　(2019·大连模拟)已知首项与公比相等的等比数列{an}中，

8、满足ama＝a(m，n∈N＋)，则＋的最小值为(　　)A.1B.C.2D.答案　A解析　由题意可得，a1＝q，∵ama＝a，∴a1·qm－1·(a1·qn－1)2＝(a1·q3)2，即qm·q2n＝q8，即m＋2n＝8.∴＋＝(m＋2n)×＝×≥×＝1.当且仅当m＝2n时，即m＝4，n＝2时，等号成立.命题点3　消元法例3　已知正实数a，b满足a2－b＋4≤0，则u＝(　　)A.有最大值B.有最小值C.有最小值3D.有最大值3答案　B解析　∵a2－b＋4≤0，∴b≥a2＋4，∴a＋b≥a2＋a＋4.又∵a，b>0，∴≤，∴－≥－，∴u＝＝3－≥3－＝3－≥3－＝