2019_2020学年高中数学第一章集合与函数概念1.3.1.1函数的单调性学案（含解析）新人教A版

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1、第1课时　函数的单调性知识点一　定义域为I的函数f(x)的增减性,定义中的x1，x2有以下3个特征(1)任意性，即“任意取x1，x2”中“任意”二字绝不能去掉，证明时不能以特殊代替一般；(2)有大小，通常规定x1

2、)上单调递减．[小试身手]1．判断(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)函数y＝x2在R上是增函数．(　　)(2)所有的函数在其定义域上都具有单调性．(　　)(3)在增函数与减函数的定义中，可以把“任意两个自变量”改为“存在两个自变量”．(　　)答案：(1)×　(2)×　(3)×2．函数y＝(2m－1)x＋b在R上是减函数，则(　　)A．m>　　B．m－D．m<－解析：使y＝(2m－1)x＋b在R上是减函数，则2m－1<0，即m<.答案：B3．函数y＝－2x2＋3x的单调减区间是(　　)A．[0，＋∞)B．(－∞，0)C.D.解析：借助图象得y＝－2x2＋3x的单调减区间

3、是，故选D.答案：D4．若f(x)在R上是增函数，且f(x1)>f(x2)，则x1，x2的大小关系为________．解析：∵f(x)在R上是增函数，且f(x1)>f(x2)，∴x1>x2.答案：x1>x2类型一　利用函数图象求单调区间例1　已知函数y＝f(x)的图象如图所示，则该函数的减区间为(　　)A．(－3,1)∪(1,4)B．(－5，－3)∪(－1,1)C．(－3，－1)，(1,4)D．(－5，－3)，(－1,1)【解析】　在某个区间上，若函数y＝f(x)的图象是上升的，则该区间为增区间，若是下降的，则该区间为减区间，故该函数的减区间为(－3，－1)，(1,4)．【答案】　C

4、观察图象，若图象呈上升(下降)趋势时为增(减)函数，对应的区间是增(减)区间．跟踪训练1　函数f(x)的图象如图所示，则(　　)A．函数f(x)在[－1,2]上是增函数B．函数f(x)在[－1,2]上是减函数C．函数f(x)在[－1,4]上是减函数D．函数f(x)在[2,4]上是增函数解析：函数单调性反映在函数图象上就是图象上升对应增函数，图象下降对应减函数，故选A.答案：A图象上升或下降趋势判断．类型二　函数单调性的判定与证明例2　判断函数f(x)＝在区间(1，＋∞)上的单调性，并用单调性的定义证明．【解析】　函数f(x)＝在区间(1，＋∞)上单调递减．证明：任取x1，x2∈(1，

5、＋∞)，且x10.∵x1，x2∈(1，＋∞)，∴x2＋x1>0，x－1>0，x－1>0，∴>0，即f(x1)>f(x2)，由单调性的定义可知函数f(x)＝在区间(1，＋∞)上单调递减．先根据单调性的定义任取x1，x2∈(1，＋∞)，且x1

6、0，x1＋1>0，x2＋1>0.∴>0.即f(x1)－f(x2)>0，f(x1)>f(x2)．∴y＝在(－1，＋∞)上是减函数．利用四步证明函数的单调性．类型三　由函数的单调性求参数的取值范围例3　已知函数f(x)＝x2＋2(a－1)x＋2在区间(－∞，4]上是减函数，求实数a的取值范围．【解析】　∵f(x)＝x2－2(1－a)x＋2＝[x－(1－a)]2＋2－(1－a)2，∴f(x)的减区间是(－∞，1－a]．∵f(x)在(－∞，4]上是减函数，∴对称轴x＝1－a必须在直线x＝4的右侧或与其重合．∴1－a≥4，解得a≤－3.故a的取值范围为(－∞，－3].首先求出f(x)的单调减区

7、间，求出f(x)的对称轴为x＝1－a，利用对称轴应在直线x＝4的右侧或与其重合求解．方法归纳“函数的单调区间为I”与“函数在区间I上单调”的区别单调区间是一个整体概念，说函数的单调递减区间是I，指的是函数递减的最大范围为区间I，而函数在某一区间上单调，则指此区间是相应单调区间的子区间．所以我们在解决函数的单调性问题时，一定要仔细读题，明确条件含义．跟踪训练3　例3中，若将“函数在区间(－∞，4]上是减函数”改为“函数的单调递减区间为(－∞，4]”，则a为何